Сказка про углы (с моралью)

В городе геометрических фигур открылась ярмарка углов. Продавали новые углы с большими скидками. Пришел треугольник и купил себе три угла. Пожаловали квадрат, ромб и прямоугольник, и купили себе по четыре угла. Пятиугольник купил для себя пять углов, а шестиугольник - шесть.

Жители города геометрических фигур

Только круг и овал сидели в кафе, пили чай с булочками и ничего не знали про распродажу. Тут видят они - треугольник бежит с новыми углами.

-Откуда у тебя новые углы? - спрашивают они

-Да там на Квадратной площади распродажа, бегите скорее, а то все углы разберут! - сказал треугольник, а затем присел на лавочку отдохнуть и проверить продавцов, точно ли ему 180 градусов углов дали - Всё точно, не обманывают!

Покатились круг и овал на Квадратную площадь, но там уже ярмарка сворачивалась - пока они сидели в кафе, пришел жадный многоугольник и скупил все углы.

Расстроились друзья - опять без углов ходить придется. Но тут из-за угла вышагивает тот самый жадный многоугольник. Правильный весь такой, выпуклый, гордится новыми углами. И наши друзья покатились со смеху - теперь жадный многоугольник похож на круг. Углов так много, что их уже и не различить.

Мораль: Не надо жадничать!

Далее будут небольшие выкладки для тех, кто хочет знать, доколе можно жадничать. Рассчитаем для правильного многоугольника с большим количеством углов, насколько он отличается от круга. Здесь мне придется взять листик в клеточку.

Мы сравним круг и правильный многоугольник, вписанный в этот круг и рассчитаем для многоугольника разницу расстояний от центра - дельта ("треугольничек"). Я нарисовала часть многоугольника и соответствующий сектор круга. Используя формулы тригонометрии и формулы приближенного вычисления косинуса малых углов, нетрудно найти эту дельту.

По полученной формуле нетрудно оценить - для N=10 отношение дельта к радиусу составит 5%, а для N=20 - уже меньше процента. Поэтому любой правильный N-угольник может для себя рассчитать, сколько углов ему надо, чтобы отличаться (или не отличаться) от круга.

Читатель может подумать - может, вообще запретить жадные многоугольники? Зачем они вообще нужны? Нет, на самом деле в современной науке всё пригождается, даже жадность. Когда математику или физику необходимо решить сложную задачу численно, он прибегает к аппроксимации, или, проще говоря, приближению. Разбивают область вычислений на отрезки, а сложную функцию считают как кусочки прямых (как говорят, кусочно-линейной) - делают такой много-много-много угольник. А вот где надо остановиться, решает дельта. Исходя из той точности, с которой надо решить задачу, математик может понять, какое количество шагов N ему нужно.

Мораль: жадничать нужно в меру, и меру надо знать!

Спасибо за внимание!