"Важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет"
Так в 2000 году в Математическом институте Клэя (Массачусетс, США) были охарактеризованы проблемы, за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн. долларов.
Всего таких задач 7. И по состоянию на сентябрь 2020 года - только одна из них была решена.
Итак, перейдем к задачам:
1) Проблема перебора/Вопрос о равенстве классов сложности P и NP
Основная суть: Если положительный ответ на поставленный вопрос можно довольно быстро проверить, то правда ли, что ответ на этот вопрос можно также быстро найти?
Пример: Есть ли среди множества чисел {−2, −5, 2, 11, 7, −10, …} такие, что их сумма равна 0? Ответ — да, потому что -2 -5 + 7= 0 и это легко проверяется несколькими действиями. Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Кажется, что подобрать числа сложнее, но это не доказано.
2) Гипотеза Ходжа
Основная суть: При отображении множества решений системы алгебраических уравнений, любой класс многообразия данного отображения (цикл Ходжа), будет иметь геометрический смысл.
Пример: Есть следующее алгебраическое многообразие (отражено ниже), и необходимо доказать, что применимо к этому объекту циклы Ходжа будут иметь какое-либо геометрическое истолкование.
3) Гипотеза Римана
Основная суть: Дзета-функция Римана (отражена ниже) принимает нулевые значения только при s = отрицательным четным числам и при комплексных числах, с вещественной частью = 1/2.
Пример: Если мы поставим вместо s в степени знаменателя отрицательное четное число или комплексной число с вещественной частью = 1/2, то функция принимает нулевое значение.