Давайте бросим быстрый взгляд на то, что стоит в правой части уравнения Эйнштейна: тензор энергии-импульса. Рассмотрим один частный случай, который многое нам прояснит.
Итак, рассмотрим (пока) неискривленное пространство Минковского: четырехмерное пространство-время с метрикой dL²=c²dt²-dr², где dL — интервал, расстояние, которое инвариантно для всех координатных систем, dt — интервал времени, dr — расстояние в пространстве.
В искривленном римановом пространстве все аналогично, только метрика более сложная. Здесь и ответ на вопросы "что такое искривление в пустоте" и "как можно искривить пространство". Вот так: когда расстояние считается не совсем так, как учили в школе; в школе учили правильно, потому что в тех задачах разница очень мала, но с чего все во вселенной должно следовать приближенным школьным формулам?
Линия в четырехмерном пространстве-времени (мировая линия) содержит информацию о траектории точечного тела и о его скорости. Траектории могут пересекаться без столкновения тел, мировые линии же — нет. Равно как и единичный касательный вектор к такой линии показывает сразу и направление мгновенное скорости, и ее величину.
Рассмотрим сплошную среду, описываемую скалярным полем плотности ρ и векторным полем скорости. Через каждую точку проходит мировая линия с единичным касательным вектором τ_i (тау с индексом i).
Составим тензор второго ранга (грубо — матрицу) по такой формуле:
ρc²τ_iτ_j.
Вот этот тензор и есть тензор энергии-импульса сплошной среды.
Он симметричный, очевидно: не меняется при перестановке индексов.
Давайте посмотрим на его компоненты в нерелятивистском приближении: когда скорости (U,V,W) потока невелики сравнительно со скоростью света с. Обозначим U/c=u и т.п. Как обычно, под малостью будем понимать следующее: сами относительные скорости u,v,w мы будем учитывать, а их квадратами и произведениями будем пренебрегать.
Тогда вектор τ имеет вид (1,u,v,w).
Индексам 00 тензора энергии-импульса соответствует в этом случае ρc² — плотность энергии потока.
Пусть один индекс равен нулю, а второй — нет. Тогда получим
ρuc²=ρUc и еще два аналогичных — это компоненты плотности импульса, умноженные на c. Можно еще трактовать их как поток энергии ρc², которую переносит скорость u (первое выражение).
Осталась подматрица 3х3 с ненулевыми индексами. Легко видеть, что это поток импульса, переносимый скоростями (потоком). Отдельно трактуются диагональные элементы: например, для индексов 11 имеем
ρc²u²=ρU².
Выберем небольшой кубик с площадью грани S и ребром a. Тогда ρ=M/(Sa), U=a/T (T — интервал времени) и:
ρU²=M/(Sa)a²/T²=M(a/T²)/S.
В скобках ускорение, масса на ускорение — это сила, а сила относительно площади — давление. Собственно, перенос импульса вдоль оси вдоль этой же оси — это давление и есть.
В искривленном пространстве все почти так же, потому что исходное соотношение — тензорное.
В простых случаях (ньютонов предел, решение Шварцшильда) только одна клеточка отлична от нуля (00, которая синяя, там плотность покоя) или все равны нулю (вне гравитирующего тела энергии-импульса почти нет, а кривизна есть: равенство нулю тензора Риччи не означает равенства нулю тензора кривизны! Хотя скалярная кривизна таки равна нулю).
Для других видов энергии (твердого тела, электромагнитного поля...) выражения для тензора энергии-импульса другие, но суть, я надеюсь, вы поняли...