Следующий пример взят из задачника по школьной геометрии «Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы» (Волчкевич М.А.). Мы уже как-то про эту книгу говорили. Задание примечательно тем, что его можно также решить либо эффектным (но не очевидным) построением, либо долго идти через решение треугольников. Автор задумывал именно первый путь, т.к. используемые во втором доказательстве факты встречаются в школьной программе позднее.
Итак, сама задача:
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Через точку ее касания с катетом проведена прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две другие точки касания. Эта прямая разбивает второй катет на два отрезка. Докажите, что меньший из них равен радиусу данной окружности.
Способ 1
Сначала нарисуем обычный чертёж, расставив на нём необходимые буквы.
А теперь сделаем дополнительное построение, которое поможет решить задачу. В ситуациях, когда у вас есть вписанная в угол окружность, одно из напрашивающихся построений — это соединить вершину и центр этой окружности. В данном случае проведем отрезок АО. Ещё одно дополнительное построение, которое напрашивается, — это проведение радиуса в точку касания. Соединим для этого точки О и P.
Не будем подробно останавливаться на доказательстве. Утверждение задачи (что АК=ОР), следует из того, что AOPK— параллелограмм. А это несложно доказать самостоятельно. Для этого сначала покажите, что АО, также как и КP, перпендикулярно МQ. И что ОР||АС (помните, что угол С прямой).
Способ 2
Однако, при решении задачи могла возникнуть другая ситуация. Допустим вы додумались только до первого построения и решили как-то использовать свойство биссектрисы треугольника (а АО именно биссектриса). До проведения радиуса не додумались или не поняли, какой из них эффективнее провести. Тогда мог возникнуть другой чертёж:
AL — биссектриса угла A. Также AL||КР (т.к. обе эти прямые перпендикулярны MQ). Ну а дальше начинаются вычислительные дебри доказательства того, что x=r.
Обозначим традиционными буквами катеты a и b и гипотенузу c. AK = x — это отрезок, который мы будем выражать через эти переменные.
Воспользуемся свойством биссектрисы AL и выпишем соотношение:
Это система уравнений с двумя неизвестными. Она легко решается методом подстановки. Однако, такая конструкция довольно часто встречается в задачах, поэтому можно запомнить решение этой задачи:
OPCQ — квадрат. Это следует из того, что это прямоугольник (треугольник прямоугольный, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной) и что OP=OQ и PC=QC. Отсюда получаем, что PC=r.
Далее воспользуется тем, что AL||КР. Это даёт нам сразу несколько соотношений, возникающих из подобия ALC и KPC. Мы возьмём следующее:
Чтобы это соотношение стало нам полезным, мы должны сперва выразить LP через a, b и c.
В последнем выражении приведём слагаемые, а для последних двух применим теорему Пифагора.
В этой цепочке равенств мы также дважды использовали следующее соотношение:
Теперь у нас всё готово, чтобы выразить x:
И после сокращения получаем:
Что и требовалось нам доказать.