Сегодня мы разберём чуть более сложную, но очень красивую задачу. Она была предложена школьникам 9-х классов на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 1993 году.
Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O, причем угол AOC равен 60 градусам. Докажите, что AC + BD ≥ 1.
Способ 1
У этой задачи есть красивое геометрическое решение. Здесь его приводить смысла нет, т.к. оно приведено на канале Wild Mathing. Ниже скриншот с этим элегантным решением:
От себя замечу, что дополнительное построение поначалу выглядит довольно странным. Кажется, что до него сложно додуматься самому. Однако, конструкция подразумевает и некоторые стандартные рассуждения. Например, если у вас есть угол в 60° и при этом есть какие-то равные стороны, высока вероятность того, что в какой-то момент в задаче появится равносторонний треугольник. Обычно он появляется либо с помощью дополнительного построения, либо как следствие вращения какой-либо части фигуры на 60°.
Способ 2
Теперь давайте рассмотрим алгебраическое решение, которое основывается на решении соответствующих треугольников. Его предложили там же в комментариях.
Пусть AO = x, CO = y, OB = 1 - x, OD = 1 - y.
Используем теорему косинусов для △AОC и △ВОD и находим отрезки AC и BD:
Нам нужно доказать, что AC + BD ≥ 1. Давайте сделаем замену:
Число t неотрицательно. Действительно:
Неравенство AC + BD ≥ 1 теперь можно переписать в следующем виде:
Слева и справа неотрицательные числа, поэтому смело возводим в квадрат:
Итак, всё свелось к тому, чтобы доказать последнее неравенство. Обозначим его как (*). Доказывать его мы будем, отталкиваясь от знака выражения слева. В зависимости от него, это будут два разных пути доказательства данного неравенства.
Случай 1:
Тогда возведём левую и правую часть неравенства (*) в квадрат. Получим:
Обратная замена:
Получили неравенство, которое верно для любых пара x и y. Так как все преобразования выше были равносильными, то и неравенство (*) тоже верно.
Случай 2:
Получается, что правая часть неравенства (*) отрицательна. А отрицательное число всегда меньше, чем арифметический квадратный корень. Но проблема в том, что он должен существовать. Поэтому проверим будет ли подкоренное выражение неотрицательным.
Сразу отметим, что при t=0 данное неравенство (обозначим его **) верно. Также мы помним, что t неотрицательно. Поэтому можно считать, что t>0. Таким образом первый множитель не влияет на знак неравенства. Рассмотрим второй множитель и сделаем для него обратную замену:
Чтобы показать, что это выражение неотрицательно, рассмотрим его как квадратный трёхчлен относительно х:
После этого найдём дискриминант:
То есть дискриминант неположительный. Отсюда соответствующая парабола может максимум лишь касаться оси Ox, но не пересекать её. А так коэффициент при x² положителен, то получается, что вся парабола лежит в верхней полуплоскости и значение соответствующего трёхчлена неотрицательно.
Получается, что и второй множитель в неравенстве (**) неотрицателен. То есть вся левая часть неравенства неотрицательна. Это значит, что подкоренное выражение слева в неравенстве (*) имеет смысл, и для второго случая получаем верное неравенство.
То есть неравенство (*) верно при всех значениях x и y. Это означает, что исходное неравенство также верно.