В заметке про слепого Пью и распределение Коши мы обсудили одно нехорошее распределение вероятностей, распределение Коши, которое возникает в совершенно рядовой ситуации. Оно похоже на колокольчик и может быть спутано с гауссианой --- с самыми печальными последствиями. Дело в том, что у гауссиана убывает очень быстро, ОЧЕНЬ, и вероятности уклонений от среднего очень быстро убывают тоже. Распределение Коши имеет предельно "тяжелый хвост", оно убывает так медленно, как это вообще возможно (впрочем, всегда хуже можно) и у него даже среднего в строгом смысле нет --- интеграл расходится.
Напомню, в чем была суть заметки. Слепой Пью стоит в 20 ярдах от забора и стреляет из пистолета в случайно выбранном направлении. Направления равномерно распределены от -90 до 90 градусов. Каково распределение пуль в заборе?
Распределение Коши.
Подписчик поставил смежную задачу: а что, если в 10 ярдах от забора вбит колышек, к которому веревкой длины 10 ярдов привязана собака. Собака бегает по кругу, натягивая веревку, с постоянной скоростью, пробегая круг за одну единицу времени. Пью стреляет на лай, время выстрела равномерно распределено на [0,1]. Пули проходят выше собаки и попадают в забор. Будет ли распределение пуль распределением Коши?
Вопрос в равномерности распределения направления выстрела. Если оно равномерно, задача сводится к уже решенной.
Задача изящно решается на основе теоремы о вписанном угле: Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность в точках А и В, равен половине угла с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через те же точки А и В.
Тогда направление выстрела, отсчитываемое от перпендикуляра к забору, вдвое меньше углового положения собаки (по отношению к этому же перпендикуляру), а значит --- распределено равномерно (на отрезке от 0 до 180 градусов).
Смущает особенность (сингулярность) в точке, где стоит Пью; когда собака пробегает там, он стреляет параллельно забору --- и не ясно, в какую сторону. Но это формальная особенность, вероятность застать собаку точно в этой точке равна нулю, а в любой другой угол к забору может быть мал, но конечен.
Теперь формально.
Положение собаки в тех координатах, что на рисунке: x=cost, y=sint. При этом t равномерно распределено на [0,2п]. Уравнение прямой, по которой стреляет Пью:
x(1+sint)=(y+1)cost
В забор он попадет в точке A=x=2cost/(1+sint), поскольку забор --- это линия y=1.
Тангенс угла между линией выстрела и перпендикуляром к забору в два раза меньше: ведь это отношение A к длиней красного отрезка, равного 2.
Итак, искомый угол:
arctg(cost/(1+sint))
Кто хорошо знает школьную тригонометрию? Можете упростить это выражение?
Кстати, видите сингулярность? При 180 градусах в знаменателе нуль. Получается под арктангенсом плюс-минус бесконечность, а тогда угол --- плюс-минус 90 градусов. Устранимая особенность, ничего страшного.
Можно взять производную, она легко упрощается и сводится к константе -0.5; поэтому наш угол равен С-t/2, при какой-то константе С, которая нас не очень интересует. Главное, что зависимость линейная, а значит, распредление тоже равномерное!
Константу, если угодно, найти легко, подставив t=0: угол равен С и равен arctg(1)=45 градусов.
Пожалуй, хватит об этой задачке, хотя поговорить еще есть о чем:
- Что, если скорость собаки выше или ниже? Если Пью перезаряжает пистоль в пределах 1 единицы времени, а собака за это время успеет пробежать 10 кругов? Как это повлияет на распределение?
- Как зависит результат от длины веревки?
- А от положения колышка?
- А если Пью перезаряжает пистоль равномерно распределенное случайное время, но не между 0 и 1, а на другом отрезке? С минимальным временем перезарядки?
Может быть, вернемся еще к этим вопросам.