Окружность, диаметром которой является катет АС прямоугольного △ABC, пересекает гипотенузу AB в точке K, см. рисунок.
Медиана АМ пересекает окружность в точке L.
Точки P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из вершин А и С на прямую KL.
Докажите, что PK = KL = LQ.
Доказательство
1) Четыре оранжевых угла равны между собой.
2) Три зеленых угла равны между собой.
3) △KNP и △LCQ равны между собой, значит, PK = LQ.
4) △AMC и △KCQ подобны.
5) △AMO и △KCL подобны.
6) AO — половина AC, значит, KL — половина KQ.
Примечания. Эта хитроватая задача опубликована в журнале Crux Mathematicorum за январь 2007 под номером 3203 (формулировка незначительно изменена).