Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Доброго времени суток, уважаемые Читатели! Тема школьной математики на моём канале началась еще в далеком апреле с публикации о теореме Виета, а недавно продолжилась логарифмами. Сегодня же речь пойдет о куда более простом, но не менее важном понятии - модуле числа. Поехали!
Определение
Модулем или абсолютной величиной числа x называется расстояние от начала отсчета до точки координатной плоскости, соответствующей этому числу. Модуль числа обозначается |x|.
Впервые это понятие ввел учение Ньютона Роджер Котс, а современное обозначение - Карл Вейерштрасс в 1841 году.
Исходя из определения, можно заключить, что модуль любого числа - есть величина неотрицательная (расстояние же не может быть меньше нуля!). Другие свойства модуля проще всего запомнить, используя его геометрическую интерпретацию
Модули вещественных чисел
Если Вы забыли, что такое вещественные числа - призываю прочитать этот материал.
Итак модуль определен для всех вещественных чисел, куда входят натуральные, целые, рациональные, иррациональные и трансцендентные числа. Т.к. модуль неотрицателен, для него верны следующие утверждения:
Дополнительно модуль можно определить как кусочно-заданную функцию вида:
Модуль комплексного числа
Напомню, что комплексные числа - это числа вида Z=x+iy, где i - мнимая единица, а x,y - вещественные числа. Исходя из геометрического представления комплексного числа, его модуль определяется следующим образом:
Модуль и норма
Понятие "норма" - это результат обобщения понятия модуля и абсолютной величины на случай векторного пространства (в нём есть векторы и скаляры - числа, которые подчиняются восьми аксиомам), частным случаем которого, например, является трехмерное Эвклидово. Норма - это некое отображение (читайте про это понятие), переводящее точку векторного пространства в числовую ось и удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам):
Оказывается, что модуль лучше всего подходит, чтобы быть нормой векторного пространства, ведь для него по определению выполняются указанные выше аксиомы. В трехмерном Эвклидовом пространстве вместо нормы вектора также употребляют понятие "длина".
Как работает "отображение"? Представьте, что на рисунке выше вектор ОА имеет координаты (2,3,-1), тогда длина (норма) этого вектора равна √ ((2^2)+(3^2)+(-1)^2) = √ 14. Таким образом, вычислив норму вектора, мы однозначно сопоставили точку векторного пространства некой числовой величине, что и является отображением.
Понравилось? А знаете, как теорема Байеса может буквально перевернуть Вашу логику с ног на голову ?
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM. Также есть группы в VK,Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех".