В прошлой статье поговорили про важность решения треугольников для подготовки к экзаменам. Теперь о самих формулах.
Почти все эти формулы проходят в школе. Основной их костяк общеизвестен, но иногда авторы добавляют одну-две от себя. Мы перечислим их с небольшими комментариями.
Обычно выделяют две большие части: соотношения в прямоугольном треугольнике и в произвольном. Мы тоже будем придерживаться этой традиции.
Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора
Известно высказывание, что практически любую геометрическую задачу можно решить, достаточное количество раз применив теорему Пифагора. Конечно, это больше шутка, но в ней есть здравое зерно. Действительно теорема просто формулируется и довольно часто используется.
Радиус описанной окружности
Формула также является частью темы «медиана в прямоугольном треугольнике». Большинство учеников знает эту формулу, благо она достаточно лёгкая для запоминания.
Радиус вписанной окружности
Чуть менее известная формула. Доказывается очень элегантно, и желательно уметь проводить это доказательство. Обратите внимание, что сторону с знать не обязательно. Если вам известны катеты, то вы легко её найдёте по теореме Пифагора. То есть и радиус вписанной окружности тоже легко выразить через них.
Высота, проведенная к гипотенузе
Эта конструкция даёт сразу несколько соотношений:
Все они доказываются через один и тот же факт: данная высота делит прямоугольник на два треугольника, подобных исходному. Первую из формул нужно знать наизусть, т.к. она нужна в том числе для построения среднего геометрического двух отрезков. Две другие скорее факультативны. Знать, что они есть, полезно, но на практике удобнее сразу выводить количественные соотношения из подобия.
Реже в литературе встречается формула для обратных квадратов катетов.
Но о её существовании тоже желательно знать и уметь её доказывать. Это соотношение легко запомнить, т.к. оно является аналогом теоремы Пифагора для обратных катетов.
Тригонометрические формулы
Тригонометрия даёт огромный набор инструментов для нахождения количественных соотношений между элементами треугольника. Тут уже всё будет зависеть от ваших вычислительных навыков и знаний в этой области.
Вам нужно будет хорошо знать определение основных тригонометрических функций. И несколько легко доказываемых соотношений:
Также нужно знать и уметь быстро выводить значения тригонометрических функций для углов в 30°, 45°, 60°.
А знание формул для двойного и половинного углов, для суммы и разности углов и пр. поможет использовать в расчётах всю вычислительную мощь тригонометрии.
Произвольный треугольник
Свойство точки пересечения медиан
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Что в медианы делятся в отношении 2 к 1, школьники обычно помнят. Иногда забывают с какой стороны, но вспоминают, если есть перед глазами чертёж.
Помимо этого факта полезно знать и уметь доказывать два факта, связывающих медианы и площадь треугольника: что медиана делит треугольник на две равновеликих части и что три медианы вместе делят треугольник на шесть равновеликих частей.
Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Вывод знать не так существенно важно (часть учеников забывают, какое там дополнительное построение), но уметь применять обязательно.
Теорема синусов
Обычно её знают в виде двойного равенства (без удвоенного радиуса) Так она легко запоминается. Но в таком виде не все понимают, как её доказывать. Как только к этим равенствам добавляется 2R, можно попытаться вспомнить и доказательство (хотя оно и не сильно важно). Формула хороша не только тем, что связывает стороны и углы, но ещё и тем, что является по сути единственной, которая позволяет как-то вычленить радиус описанной окружности.
Теорема косинусов
Теорема доказывается относительно сложно, поэтому проще сразу её твердо выучить. Наряду с теоремой синусов является одной из самых используемых.
Формулы площади треугольника
В этот список иногда добавляют формулу для прямоугольного треугольника, но она довольно очевидна, поэтому здесь мы её не включаем.
Первая формула — классическая формула для площади, которую необходимо знать всем школьникам.
Вторая — следует из первой, как только мы заменим высоту на произведение стороны и синуса соответствующего угла. Несмотря на то, что она так легко выводится, её тоже желательно знать наизусть.
Третья формула — показывает связь площади, полупериметра и радиуса вписанной окружности. Несмотря на краткость формулы, про неё школьники довольно часто забывают.
Последняя формула — формула Герона. Она идеально подходит для трёх известных целочисленных сторон. Кстати, не страшно, если стороны являются квадратными корнями из целых чисел. Они часто красиво уходят под большим корнем, если использовать формулу разности квадратов.
Двойной подсчёт площади
Это не формула, а важный принцип, который очень часто используется при решении треугольников. Суть его в том, чтобы выразить площадь одного и того же треугольника двумя разными способами и из получившегося соотношения попробовать найти неизвестный параметр.
Сумма углов треугольника
Это формулу знают почти все школьники.
********
И ещё одна формула и теорема, которые обычно не относятся к решению треугольников, но очень часто возникают при работе с ними.
Диагонали параллелограмма
Она очень полезна при использовании метода удвоения медианы. Дело в том, что при таком построении возникает параллелограмм, в котором известны или диагонали или стороны, поэтому важно знать соотношения между ними.
Теорема о пропорциональных отрезках
Часто возникает там, где есть пара параллельных прямых. Предварительно полезно набить руку в решении задач на деление отрезка заданной длины в заданном соотношении.
