Дан выпуклый четырехугольник, см. обозначения сторон и диагоналей на рисунке.
Докажите, что если a + c = p√2 и b + d = q√2, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство
Согласно условию задачи 2p² + 2q² = (a + c)² + (b + d)².
Дополнительное построение довольно очевидное.
Воспользуемся свойством серого параллелограмма (см. рисунок): «Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон».
Из неравенства треугольника следует, что отрезки a, с и b, d должны быть попарно коллинеарны, т.е. a || c и b || d.