Давайте выясним, в каких единицах измеряются величины, входящие в уравнение Эйнштейна Общей теории относительности. Само уравнение --- на рисунке.
Здесь R с двумя индексами --- тензор Риччи, g с двумя индексами --- метрический тензор, G --- гравитационная постоянная, c --- скорость света, пи --- число "пи", T с двумя индексами --- тензор энергии-импульса.
Для начала, обсудим теорию размерности в целом. Само слово "размерность" двузначно: размерность может быть характеристикой пространства, а может относиться к единицам измерения. В этой статье мы говорим о втором смысле --- про единицы измерения.
Здесь тоже не все само собой, потому что, например, угол --- он безразмерный, поскольку это отношение длины дуги к радиусу, который тоже длина --- но он измеряется в некоторых безразмерных единицах, градусах или радианах. Но в целом, величины с разной размерностью нельзя складывать и вычитать, но можно умножать и делить, а что до степени, то показатель всегда безразмерный, как и аргумент функции --- синуса, логарифма и т.п. Если нет, то это просто для удобства записи, потому что смысла ln(1kg) не имеет. Если написано что-то вроде ln(M) - ln(m), то это нормально, потому что эквивалентно ln(M/m). И если что-то размерное возводится в степень, то степень только целая. Потому что "метр в квадрате" или даже "килограмм в квадрате" можно, а вот "корень из килограмма" --- нельзя.
Любую задачу можно сделать безразмерной, введя типичные масштабы для каждой размерности. Я этому вопросу посвящу отдельную заметку. В принципе, ясно, как надо действовать: имея метры и секунды, можно уравнять их в правах, введя скорость света (или другую эталонную скорость, просто с фундаментальна). Если выбрать эталон длины, то ни длин, ни времен не будет.
Задача в безразмерной записи проще, там все параметры на виду и там видно, что большое, а что маленькое. С другой стороны, ошибки трудно выявлять, потому что все числа безразмерные. Задача в естественных размерностях сложнее выглядит, но легко находить ошибки по нарушению размерности: если слева не то, что справа, то где-то точно ошибка.
И задача не может зависеть от выбора единиц, и из этого можно порой извлечь удивительно много информации --- как и из любой симметрии. Подробнее в другой заметке.
Я буду писать степень вот так: м3. Понятно.
Итак, скорость света в м/с, гравитационная постоянная G в м3/с2/кг. Дело в том, что в Законе всемирного тяготения мы ее умножим на две массы, получив кг в числителе, и поделим на квадрат расстояния, получив метр в числителе. Метр на секунду в квадрате --- это ускорение: имеем массу на ускорение, а это размерность силы. Все сходится.
Пи безразмерно, как и число 8. Осталось (в правой части) разобраться с тензором энергии-импульса. Это матрица, симметричная, 4х4. Все ее компоненты имеют одну и ту же размерность.
Эта размерность --- плотность энергии, то есть энергия на единицу объема. Энергия измеряется много в каких единицах, но все они друг другу пропорциональны. Мы работаем в SI, поэтому сведем джоули к метрам, секундам и килограммам: Дж = Н*м = кг*м/с2*м=кг*м2/с2. Тогда размерность компонент тензора энергии-импульса: кг/м/с2.
Те компоненты, в которых импульс или поток импульса --- размерность та же, из-за множителей вроде с. Например, импульс измеряется в кг*м/с, и если домножить его на с, то получится размерность энергии.
Итак, в правой части у нас м3/с2/кг/м4*с4*кг/м/с2=1/м2. Килограммы и секунды сократились.
Теперь левая часть. Тут чуть сложнее.
Тензор метрики безразмерный: он выражает скалярное произведение векторов, а они имеют размерность длины. Корень из скалярного квадрата вектора имеет размерность ту же, что и вектор --- так что метрический тензор безразмерный. Скалярный квадрат в матричной форме записывается (gx)x, и если x в метрах, то это будет в м2. g безразмерно.
Тензор Риччи имеет размерность 1/м2. Одно из его свойств --- это что его компоненты являются коэффициентами второго порядка разложения бесконечно-малого объема по отношению к евклидовому. Отсюда получается его размерность.
Можно и напрямую. Тензор Риччи получается сверткой из тензора кривизны (четвертого ранга). Свертка --- просто сумма элементов, размерности не меняет. Тензор кривизны выражает некоммутативность ковариантных производных: то есть, если "по правилам" взять производную по одному направлению от производной по другому, то результат будет не такой же, как если сделать это в обратном порядке. Два раза дифференцируем по координате --- дважды делим на метр. Вот и получается 1/м2. Тензор кривизны и выражает эту разность для всевозможных направлений
Итак, обе части уравнения Эйнштейна имеют размерность "метр в минус второй". Искать в этом глубокий смысл большого смысла не вижу. Хотите, так запишите все 10 (а из-за симметрий их десять) уравнений скалярно, поделите левую часть на правую (если там не нуль) и получите уравнения с безразмерной левой и правой частями. Если же справа нуль, размерность левой части роли вообще не играет --- какая разница, нуль метров или нуль дюймов?
Могу объяснить, почему там только длина. Если мы примем скорость света за единицу, то единиц времени не будет: время выражено через длину. Если мы примем за единицу ще и гравитационную постоянную, то выразим через длину также и массу. А больше констант в ОТО нет.
Если привлечь постоянную Планка, например, то можно выразить длину (и все остальное) через три константы, и получить систему безразмерных единиц. Систему планковских единиц! Но о ней в другой раз.