Невообразимое число Грэма, которое в 1980 г. было самым большим в мире

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен!

Приветствую, уважаемый Читатель! На своём канале я уже когда-то писал про самое маленькое число во Вселенной. Сегодня же я хочу развернуться в другую сторону и отправиться в мир невообразимо больших чисел. Начнем этот нелегкий путь, наверное, с самого знаменитого из "гигантов" - числа Грэма. Поехали!

Рональд Грэм. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Ronald_graham_writing.jpg

Чтобы подобраться к числу Грэма, необходимо представлять себе такой раздел комбинаторики, как теория Рамсея. В общих словах эта теория изучает условия, при которых в произвольных математических объектах начинается появляться некоторый порядок.

"Доказать, что в заданной группе из n человек, найдутся k человек, знакомые друг с другом, либо столько же попарно незнакомых друг с другом" - классическая формулировка из теории Рамсея.

В теории Рамсея показывается, например, что при игре в многомерные "крестики-нолики" для любого размера игрового поля можно найти количество измерений, когда ничья не будет возможной.

Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/245342/pub_5cab0513028a6700afd93434_5cab05ef3e30d900b00c26c5/scale_1200

Однако, как вы поняли особенно из последней формулировки, теория Рамсея, мягко говоря, неконструктивна.

Во-первых, чаще всего она доказывает наличие какого-либо свойства, воспроизвести которое абсолютно невозможно, да и алгоритма этого воспроизведения тоже не дает.

Во-вторых, практически во всех формулировках теоретики оперируют очень большими числами, среди которых пальму первенства долгое время держало число Грэма.

Число Грэма

Было признано в 1980 году Книгой рекордов Гиннеса "самым большим числом, использующемся в математическом доказательстве". Чтобы записать это число в десятичном представлении не хватит даже всей Вселенной, если предположить, что каждая цифра линейным размером будет соответствовать планковской длине. Никакая степенная башня вида а^a^a^a^a... не способна даже приблизиться к числу Грэма.

Но даже тут математика прекрасна, ведь точно известны последние цифры числа Грэма - ...186439059104575627262464195387.

Представьте куб. Соединим все пары его вершин. Теперь раскрасив каждое ребро графа либо в красный, либо в синий цвет, ответим на вопрос: есть ли такой полный подграф из 4 вершин с ребрами одинакового цвета, лежащими в одной плоскости. Для рисунка выше - он есть, но варьируя раскраской легко получить и случай, когда его нет. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/GrahamCube.svg/440px-GrahamCube.svg.png

В теории же Рамсея ищется тот случай, когда при ПРОИЗВОЛЬНОЙ раскраске возникнет определенный порядок: ищется минимальное n, при котором любая раскраска приводит к 100%-му существования хотя бы одного одноцветного полного подграфа. . Ситуация осложняется тем, что в классической задаче рассматривается n-мерный гиберкуб!

Так вот, число Грэма - это и есть верхняя граница n. Нам практически невозможно представить 4 измерения, а здесь речь идет просто о невообразимом их числе.

Как записывается число Грэма ?

Школьной математики точно не хватит, хотя и запись очень простая:

Источник: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71a7522a8e54a3b8b2dd067e69a6b1a7ac4bb05

Стрелочки здесь - это особый способ записи, известный как "нотация Кнута". Например, 3↑3 = 3*3*3 = 27, 3↑↑3 = 3 ↑ (3 ↑ 3) = 3 ↑ 27 = 7625597484987. Уже 3 ↑ ↑ 4 является невообразимо большим числом, значительно большим, чем число атомов во Вселенной. А теперь внимание: это число всё равно невообразимо меньше того, которое стоит в основании числа Грэма. На каждом следующем уровне число стрелок равно числу на уровне ниже. Просто голова с плеч: каким образом вообще человеческий разум, смог такое доказать. А как Вы думаете ?

Но есть числа и невообразимо больше числа Грэма. О них в следующих публикациях.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Второй проект - канал "Русский язык не для всех".