Ученики да и взрослые устроены так, что если им дать задачу, они по умолчанию думают, что она сложная и пытаются решить её, применив свои самые уникальные знания.
Вот наглядный пример. Задачу ниже 8-классники решили за 5-10 минут, а потом я решил дать эту же задачу 11-классникам в качестве повторения, так сказать. Так вот они провозились с ней полурока. То ли, правда, не додумались, как решать, то ли наоборот слишком умные и решили потянуть время. Впрочем, задачка нетипичная и интересная.
В принципе, задача несложная и решается устно, и даже в школьных задачниках можно встретить что-то похоже.
***
1. Как всегда в таких задачах, на помощь приходят подобные треугольники. Верхний треугольник подобен красному (почему - догадайтесь сами). Коэффициент подобия k равен двум, так как у верхнего треугольника одна из сторон равна половине длины стороны квадрата, а у красного - стороне квадрата. Это ключевой момент.
2. Вспоминаем формулу площади треугольника S∆=½bh, где h - высота треугольника, а b - сторона треугольника, на которую опущена эта высота (специально использую в формуле b, чтобы не перепутать со стороной квадрата а).
Обозначу через Н - высоту красного треугольника, а через h - высоту маленького (верхнего) треугольника. При этом сторона квадрата a = h + H. Учитывая, коэффициент подобия треугольников, получаем H=2h=2•⅓•a=⅔•a. Таким образом площадь красного треугольника равна S∆ = ½•⅔•a•a=2/6•a²=⅓•a².
3. Площадь квадрата равна а².
4. Получается, что площадь красного треугольника - это ⅓ площади квадрата. Всё, это ответ.
А как вы решали? Какой ответ получится у вас? Верно ведь, что задача совсем несложная. Вообще, почти все задачи, где надо найти отношение площадей, решается через подобие.