Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Пожалуй, легче всего найти этот интеграл с помощью перехода в полярные координаты. Построим график подынтегральной функции, который поможет нам определить пределы после перехода в другую систему координат.
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:
Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции g(x,y) = exp(-(x²+y²)). В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат dS = dxdy.
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:
Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2 , что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:
В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что
Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! :)
Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.
Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).
Cделаем следующую замену переменных
И получим:
Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:
Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1
Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:
Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.
С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:
Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.
Найдем интеграл от левой границы:
Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.
Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:
Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
Для этого рассмотрим два случая.
Получим обобщенную формулу:
Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n
В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:
Найдем интеграл от правой границы:
(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)
После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:
Возведем обе части неравенства в квадрат:
Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит :)
Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:
Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞
В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.
Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.
Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.
Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:
Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.
Тогда в результате получим:
Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.
Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Репетитор IT mentor в Instagram
Physics.Math.Code в контакте (VK)