Утром вышла было заметка про них, но алгоритмы Дзена стоят на страже нашей нравственности! И они заблокировали статью про теорию чисел. А то мало ли, дети прочитают... но ничего неприличного в заметке не будет, не надейтесь))
Есть такие числа. Посмотрите, как на латинском "шесть", и вы поймете причины паники роботов.
Итак, s-y primes — это простые числа, отличающиеся на шесть. Есть числа-близнецы, отличающиеся на два, для них не доказана бесконечность числа пар. Есть числа-кузены, отличающиеся на 4. Для них тоже. А есть с-и, которые на шесть. О бесконечности таких пар еще тоже нет доказательства. Но есть такой результат: если верна некоторая гипотеза, то число пар близнецов, кузенов и этих — бесконечно. То есть, каких-то в этом случае будет бесконечно много, а может — и всех трех типов. Но и то, надо гипотезу доказать.
Простое число — это число, которое делится только на 1 и на себя. Простых чисел бесконечно много, потому что если нет, то можно все перемножить и прибавить единичку, и этот монстр не будет делиться ни на одно простое, и потому сам прост, но в список не вошел: доказательство Евклида.
По-английски "простое число" — prime. Главное. Не простое)) Министр (помощник), который главный, тоже Prime.
Любое число представимо в виде произведения простых множителей единственным способом (если не учитывать порядок множителей). Это, кстати, не так легко доказать, хотя и не очень сложно. Все сводится к утверждению, что если AB делится на простое X, то на него делится либо A, либо B. И это утверждение в "короткой арифметике" Гильберта не выполнено. (В короткой арифметике есть только умножение (и деление) на числах вида 4k+1. При этом числа 9, 21, 33 и 77 простые, так как делятся только на 1 и на себя (делители должны быть из того же множества), а число 693 представимо в двух формах: 21*33 и 9*77.) В обычной арифметике утверждение выполнено, но это надо доказывать. Попробуйте, это поучительно.
Интересно еще, что ряд из обратных к простым расходится. Гармонический ряд, из обратных к натуральным числам, расходится, но медленно: сумма растет как ln(n). А простых чисел все-таки ощутимо меньше. Однако хватает для расходимости.
Насколько меньше простых чисел? Например, есть сколь угодно длинные промежутки без простых чисел. Возьмите число N=n!+1: N+1 делится на 2, N+2 делится на 3, ..., N+n делится на n. Вот и промежуток длины n-1 из составных чисел. Не факт, что промежуток такой длины не найдется раньше, конечно.
При этом между m и 2m всегда есть простое число: постулат Бертрана (но не Рассела)))
Простое число выражает количество, которое нельзя представить прямоугольником, то есть набором из двух или более одинаковых рядов. Казалось бы, что тут такого фундаментального... А есть числа, которые нельзя представить в виде кубика или треугольника. Но это баловство, а простые — фундаментальны... Вот здесь обыграно это свойство для определения простоты регулярным выражением: если можно ряд из n символов представить в виде двух и более одинаковых по длине групп, то число составное.
Кроме пар, есть тройки, четверки и одна пятерка этих самых чисел. То, что пятерка одна, доказать легко. В самом деле, все пять чисел простые, а значит, не делятся на пять. Если у одного остаток от деления на пять равен 1, то у предыдущего, которое на шесть меньше, остаток от деления на 5 равен нулю. Если же остаток равен 1 у первого, то у следующего, которое на шесть больше, он будет 2. Далее 3, 4 и... 0. Получается, что пятерка возможна, только если найдется простое число, которое делится на пять. Такое число есть, и ровно одно: это само число пять. Единственная пятерка, которая может быть, это 5-11-17-23-29. Нетрудно убедиться, что все числа простые, так что она и вправду такая.
Заодно мы доказали, что длиннее пятерки ничего быть не может.
Самые крупные известные парочки можно посмотреть в Википедии.
На этом всё, до встречи.