Нечетные числа

Рассказ про четные числа был здесь. Быстренько прочитайте и не забудьте вернуться обратно.

Нечетными, в отличие от четных, называются числа, которые невозможно разделить на две равные половины. Среди нечетных чисел древнегреческий ученый и последователь Пифагора Никомах Герасский выделял первичные (те, что нам более привычно называть простыми), вторичные (то есть составные) и промежуточные, а вернее, взаимно простые.

Как вы конечно помните, долями числа древние греки называли числа вида 1/m, но не все, а только те, которые равнялись натуральным числам. Например, у числа 6, согласно древним грекам, есть вторая, третья и шестая доли, а у числа 9 - только третья и девятая.

К первичным, или несоставным, числам относятся нечетные числа, у которых нет других долей, кроме той, которая именуется по самому числу и, таким образом, равняется единице.

Простые числа и их доли.

Формально этому признаку удовлетворяет и число 2. В современной математике первичные нечетные числа называются простыми, а 2 - единственное четное простое число.

Вторичными, или составными, числами называются нечетные числа, которые не являются первичными, а возникают от умножения первичного числа на само себя или на другое первичное число. Эти числа имеют и другие доли, кроме той, что называется по самому числу.

Промежуточные, а точнее говоря, взаимно простые, числа это числа, у которых нет одноименных долей и никакие доли одного числа не равны долям другого. Эти составные числа делятся на разные простые делители. Взаимно простыми является, например, числа 9, 14 и 25. Число 9 делится на 3 и на 9, число 14 делится на 7, на 2 и на 14, число 25 делится на 5 и 25.

Решето Эратосфена.

Перед вами уроженец древнегреческого города Кирены Эратосфен (скорее всего)

Эратосфен Киренский - отец географии, математик и просто хороший человек.

В отличие от четных чисел, каждое из которых можно вычислить, простые нечетные числа ищутся методом исключения, который иначе называется решетом Эратосфена. Это метод заключается в следующем:

• Выпишем подряд нечетные натуральные числа
• Подчеркнем первое из них, число 3.
• Теперь будем отсчитывать числа вправо и над каждым третьим ставить точку. Таким образом, отмеченными окажутся все числа, которые делятся на 3.

• Подчеркнем следующее число, над которым нет точки. Это 5.
• Будем ставить точку над каждым пятым числом.

• Следующим числом без точки окажется число 7. Подчеркнем его и расставим точки над каждым седьмым числом.

• Следующее число 9 уже отмечено точкой, поэтому мы пропустим его и подчеркнем следующее число без точек - число 11. Расставим точки над каждым одиннадцатым числом.

• Будем повторять эту процедуру до бесконечности.

В результате подчеркнутыми и без точек окажутся только простые числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и так далее.

Следует помнить, что число 2 также является простым. Оно не вошло в наш ряд только потому, что мы выписывали только нечетные числа. Других четных простых чисел кроме 2 не существует, потому что все они делятся на 2.

Чтобы найти составные нечетные числа, нужно каждое нечетное число, начиная с 3, умножить сначала на себя, а затем на каждое последующее нечетное число. Полученные таким образом произведения двух нечетных чисел следует расположить по возрастанию и получится ряд составных нечетных чисел.

И как мы уже говорили, промежуточные числа сами по себе являются составными, но не содержат ни одинаковых, ни одноименных долей. Сейчас мы сказали бы, что это взаимно простые числа, у которых нет общих простых делителей.

Алгоритм Евклида.

Для установления того, являются ли два числа взаимно простыми, Никомах предлагает пользоваться алгоритмом Евклида.

Евклид (325 - 265 до н.э.) - древнегреческий математик, а в геометрии вообще папка.

Вообще, алгоритм Евклида служит для нахождения наибольшего общего делителя для любых двух чисел. Он заключается в следующем.

• Берем данные нам числа и вычитаем из большего меньшее до тех пор, пока это возможно. Иногда числа (вернее, их остатки) будут меняться местами - то, что было большим, станет меньшим и наоборот. Но вычитания следует продолжать, несмотря на эту перемену, в указанном порядке - из большего меньшее.
• В конце концов от обоих чисел останутся либо единицы, либо другое число, повторенное дважды. Это число и будет наибольшим общим делителем (НОД) двух данных чисел. Если этот НОД - единица, то два данных числа - взаимно простые. Если НОД отличен от единицы, то числа составные.

Надеюсь, что эти факты показались Вам интересными, а может быть даже когда-нибудь и пригодятся.

В следующей статье речь пойдет о совершенных числах. Подписывайтесь, ставьте лайк и следите за публикациями!