Своим появлением опытное 35-тонное шасси МАЗ-7929 (10x8) обязано серьезным трудностям, возникшим при разработке перспективного компактного ПГРК 15П159 «Курьер» с межконтинентальной ракетой 15Ж59. Первоначально его планировалось смонтировать на трехосном шасси, затем – на четырехосном МАЗ-7909, но в процессе испытаний и доработок увеличенная масса ракеты заставила перейти на еще более грузоподъемную колесную базу.
Ею стал оригинальный пятиосный автомобиль МАЗ-7929, базировавшийся на агрегатах машин 543Ми 7909. Он получил дополнительную неведущую ось и в отличие от всех своих военных предшественников марки МАЗ впервые был оснащен вынесенной вперед единой моноблочной 3-местной кабиной со сварным каркасом и стеклопластиковыми облицовочными панелями. Как и вариант 7909, машину МАЗ-7929 также оборудовали дизельным двигателем ЯМЗ-8424.10 мощностью 420 л.с., механической 9-ступенчатой коробкой передач и доработанной ходовой частью от серии 543. Ее снаряженная масса составила 25,0 т, полная – 60 т, габаритные размеры – 15 180x3400x3462 мм.
В 1989 году было собрано четыре шасси 7929. Они одновременно поступили на завод «Баррикады» и на приемочные испытания в 21 НИИИ. В Бронницах МАЗ-7929 тоже не получил положительной оценки из-за своей недостаточной проходимости, свойственной пятиосной схеме, но в то же время в Волгограде одно шасси было переоборудовано под макетный образец СПУ комплекса «Курьер». Вместе с автомобилем МАЗ-7909 в 1989 – 1990 годах он принял участие в испытаниях разных прототипов ракет на полигоне «Капустин Яр» и был принят за основу окончательного варианта СПУ с модернизированной ракетой со стартовой массой 17 т и дальностью поражения 11 тыс. км. В 1991 году все работы по ПГРК «Курьер» на базе МАЗ-7929 были завершены, и на заводе «Баррикады» началось изготовление опытных образцов СПУ.
Их испытания наметили на лето 1992 года, но в октябре предыдущего года М. С. Горбачев подписал с Президентом США Договор о сокращении наступательных вооружений СНВ-1, что привело к приостановке до лучших времен всех работ по теме «Курьер». Так в советское время бесславно завершилась короткая история еще одного перспективного советского ракетного комплекса. Зато МАЗ-7929 со своей новой кабиной стал одним из предшественников очередного поколения четырехосных тактических автомобилей МЗКТ-7930.