Начнём с двух игр, которые создал французский писатель, прославившийся благодаря математике - Шевалье де Мере́. Конкретной формулировкой первой игры является:
С какой вероятностью можно выкинуть минимум один раз шестёрку, бросив кубик четыре раза?
Для решения этой проблемы может быть применен базовый принцип теории вероятностей, где вероятность того, что событие или его противоположность произойдет, равна 1. Но для начала нужно рассчитать вероятность того, что шестёрка не выпадет, если мы бросим кубик четыре раза. Очевидно, что при броске кости, вероятность того, что 6 не выпадет = 5/6. Стоит сказать, что при броске кубика 4 раза, каждый бросок независим от других бросков, поэтому комбинированную вероятность можно получить перемножив вероятности каждого события
(5/6) * (5/6) * (5/6) * (5/6) = (5/6)^4 = 625/1296 = 0,482 ... < 1/2.
Из этого следует, что вероятность выбрасывания не менее 6 выглядит следующим образом:
1 - 625/1296 = 671/1296 = 0,518 > 1/2.
Так мы доказали, что будет полезно сделать ставку на то, что из 4 бросков минимум 1 раз выпадет шесть, как и предполагал Шевалье де Мере́.
Вторая проблема может быть решена аналогичным образом: С какой вероятностью можно выкинуть минимум две шестёрки, если кидать два кубика 24 раза? Опять же, мы должны сначала вычислить вероятность того, что двойные шестёрки не выпадут. При броске двух костей p (ни одной двойной шестёрки) = 35/36. Далее высчитываем 24 броска:
p = (35/36)^24 = 0,5086.
Исходя из этого результата видно, что вероятность выпадания минимум одной пары шестёрок выглядит следующим образом:
1 - 0,5086 = 0,4914 < 1/2
Игры, которые мы только что проанализировали, рассматривают первые вероятностные проблемы, решаемые задолго до нас. Так же, в этих задачах мы использовали ряд определений и свойств, которые составляют основу теории вероятности.
Эти характеристики, многие из которых были рассмотрены в переписке между Паскалем и Ферматом, о ней вы узнаете в следующей статье, и впоследствии доказаны в работе Лапласа по вероятности, более подробно рассматриваются ниже, включая примеры известной игры в кости.
Следующая проблема в переписке между Паскалем и Ферматом связана с игрой в пари и, в частности, с вопросом о том, как распределить приз среди игроков, если игра прерывается в любое время. Эта проблема, известная как проблема разделения, была впервые рассмотрена Кардано, он предложил решение на основе очков, уже набранных каждым игроком, и не основываясь на вероятности с которой каждый игрок выиграл бы в продолжении игры до конца.
Если вам была интересна данная статья, можете прочитать предыдущую и решить задачку на вероятность. Ответ можно указать на моём канале в телеграм.
Не забудь подписаться, впереди много интересного ;).