Итак, дорогие мои читатели, мы с вами уже узнали о том, что писал последователь Пифагора Никомах Герасский в своем труде "Введение в арифметику" о числах четных и нечетных, совершенных, избыточных, недостаточных и об их отношениях.
Еще один раздел, на котором останавливался Никомах, это пропорции.
Со времен Платона, Пифагора и Аристотеля (т.е. почти за 400 лет до Никомаха) были известны три пропорции - арифметическая, геометрическая и гармоническая. Позднейшие ученые открыли еще три, которые Никомах называет просто четвертой, пятой и шестой, а уже его современники довели количество пропорций до десяти, что не могло не радовать Никомаха, так как число 10 в учении Пифагора считалось идеальным.
Арифметическая пропорция обнаруживает между своими членами одну и ту же разность, но не отношение. Натуральный ряд (1, 2, 3, 4, 5, ... ) оказывается самой простой и наглядной иллюстрацией такой пропорции. Любое число натурального ряда, стоящее между двумя другими, равно половине их суммы. Разности между соседними числами равны единице, а отношение между ними не сохраняется. При этом отношение между меньшими членами арифметической прогрессии (например, того же натурального ряда) оказывается больше, чем отношение между старшими членами.
Геометрическая пропорция сохраняет отношение между своими членами, но не сохраняет их разности. Примером геометрической пропорции можно назвать четно-четные числа (2, 4, 8, 16, ...) или многократные отношения (1:3:9:27:81:243), ведь в них первый член относится к следующему точно так же, как следующий относится к следующему за ним, и это отношение сохраняется, несмотря на рост самих членов пропорции. И разности членов геометрической пропорции имеют друг к другу такое же отношение, как сами члены друг к другу.
Геометрическая пропорция возникает не только между многократными отношениями, но и между сверхчастными, сверхмногочастными и смешанными.
Во всех геометрических пропорциях произведение крайних чисел ряда равно квадрату среднего или произведению двух средних.
Гармоническая пропорция, "третья из древних", состоит в следующем: какое отношение имеет наибольший член к наименьшему, такое же отношение имеет разность между наибольшим и средним к разности между средним и наименьшим. Таковы, например, отношения между числами 3, 4 и 6 или 2, 3 и 6.
Число 6 двухкратное по отношению к 3, и разность между 6 и 4, равная 2, двухкратная по отношению к разности между 4 и 3, равной 1.
Число 6, трехкратное по отношению к 2, и разность между 6 и 3 тоже трехкратная по отношению к разности между 3 и 2.
Если в арифметической пропорции отношение меньших чисел больше отношения больших, то в гармонической наоборот - отношение меньших чисел меньше отношения больших. Геометрическая пропорция средняя между ними - отношение меньших равно отношению больших.
В арифметической пропорции среднее число больше и меньше крайних на одну и ту же свою долю, но на разные их доли. В гармонической пропорции среднее число больше и меньше крайних на разные свои доли, но на одинаковые их доли. Геометрическая пропорция опять находится между ними.
Сумма крайних чисел гармонической пропорции, умноженная на среднее число, вдвое меньше произведения крайних чисел.
Арифметическое среднее выделяется по количеству, показывая равенство в интервалах между членами пропорции. Геометрическое среднее выделяется по количеству, давая равные отношения между членами пропорции. Гармоническое среднее не выделяет ни того, ни другого явно, но проявляя в себе частично в отношениях, частично в разностях.
Благодаря последнему в гармонических отношениях обнаруживаются музыкальные созвучия.
Для того, чтобы выяснить каким образом находятся натуральные числа, состоящие в гармонической пропорции, проще будет перейти к современному математическому языку, использующему буквенные выражения.
Итак, любые три числа a, b и c, находящиеся в гармонической пропорции должны иметь следующее свойство: отношение наибольшего к наименьшему, то есть c:a, должно равняться отношению разности между наибольшим и средним (c-b) к разности между средним и наименьшим (b-a).
Таковы три древние пропорции, которые, по словам Никомаха, встречались еще в работах Пифагора, Платона и Аристотеля.
Подписывайтесь, ставьте лайки и следите за обновлениями, чтобы узнать о других шести пропорциях!