Работа Никомаха Герасского "Введение в арифметику" посвящена не только натуральным числам, но их соотношениям друг с другом. Никомах, как истинный последователь учения Пифагора, в основу всех соотношений кладет соотношение единицы к единице, то есть равенство.
Кроме равенства, как соотношения двух равных чисел, существует еще неравенство, то есть соотношение неравных. Из двух неравных чисел одно всегда будет больше, а другое меньше, поэтому далее мы будем рассуждать о том, сколько меньших чисел и их долей понадобится, чтобы составить большее число. Мы покажем, что хотя ряд натуральных чисел и бесконечен, и бесконечно количество пар неравных чисел, которые можно найти в этом ряду, но тем не менее все их отношения можно свести к пяти типам: многократное, сверхчастное, сверхмногочастное, многократно-и-сверхчастное и многократно-и-сверхмногочастное, которые оказываются связаны друг с другом и порождаются одно другим в порядке усложенения.
Самое простое отношение неравных чисел - многократное - возникает, когда большее число содержит в себе меньшее целое количество раз. Например, число 2 содержит в себе число 1 ровно два раза, их отношение называется двухкратным. Двухкратным также будет и отношение числа 4 к числу 2, ведь число 2 содержится в числе 4 тоже ровно два раза. А вот число 3 состоит с числом 1 в трехкратном отношении, так же, как число 18 с числом 6.
Запишем ряд натуральных чисел от 1 до 10, а под ним ряд чисел двухкратных по отношению к числам первого ряда. Затем запишем ряд трехкратных чисел, четырехкратных и так далее до десятикратных. Мы можем продолжать и первый ряд, и количество рядов под ним до бесконечности, но ограничимся десятью.
Мы получили таблицу Пифагора, подобную которой можно часто найти на задней обложке тетради в клетку. Кроме того, что эту таблицу можно использовать как таблицу умножения, у нее есть еще несколько любопытных свойств, которые мы рассмотрим позднее.
Более сложным отношением большего к меньшему является сверхчастное. Сверхчастным называется отношение, когда большее число содержит меньшее целиком ровно один раз и еще ровно один раз какую-либо из его долей. Например, число 3 сверхвторичное по отношению к числу 2, потому что содержит его один раз целиком и еще одну его вторую долю. Число 5 является сверхчетвертичным для числа 4, потому что содержит один раз число 4 целиком и одну его четвертую долю.
В таблице Пифагора каждый ряд, начиная с третьего является сверхчастным для предыдущего. Отношения всех чисел этого ряда к числам предыдущего ряда равны отношению первых чисел этих рядов. Отношения первых чисел рядов называются коренными.
Если умножить обе части коренного отношения на одно и то же число, то полученные произведения будут находиться в таком же отношении, что и коренное.
Сверхмногочастное отношение получается, когда большее число содержит меньшее целиком ровно один раз и еще несколько его одинаковых долей. Например, число 5 является сверхдвухтретичным для числа 3, потому что содержит число 3 полностью и еще две его третьих доли. Число 8 является сверхдвухпятеричным для числа 5, потому что содержит его полностью и еще три его пятых доли.
В таблице Пифагора сверхмногочастные находятся следующим образом: для числа 3 можно взять дополнительно только две его трети, что приведет нас на два ряда ниже, к ряду, начинающемуся с числа 5, и это дает коренное отношение 5:3.
Рассуждая подобным образом, мы получим и другие сверхмногочастные коренные отношения.
Числа, находящиеся в коренном отношении любого порядка должны быть взаимно простыми (про взаимно простые числа смотри здесь, ближе к концу статьи). Иначе, для этих чисел можно определить два типа отношений и возникнет путаница. Например, число 6 является для числа 4 как сверхвторичным, потому что содержит его один раз и один раз его вторую долю, так и сверхдвухчетвертичным, потому что, кроме целого числа 4, содержит еще две его четверти.
Для борьбы в этой путаницей числа 6 и 4 можно разделить на их наибольший общий делитель 2, что укажет на его истинное корневое отношение 3:2, то есть 6 это сверхвторичное для 4.
Многократно-и-сверхчастное отношение возникает, когда большее число содержит в себе меньшее целиком более, чем один раз и вдобавок содержит какую-либо одну из его долей. Например, число 11 является двухкратным с одной пятой для числа 5. Оно содержит два раза число 5 и еще одну его пятую долю. Число 19 является трехкратным с одной шестой для числа 6, так как содержит три раза число 6 целиком и еще одну его шестую долю.
Ну и, наконец, многократно-и-сверхмногочастным называется отношение, которое возникает, когда большее число содержит меньшее несколько раз целиком и еще несколько его равных долей. Число 16 является двухкратным с двумя седьмыми для числа 7, так как содержит два раза само число 7 и еще две его седьмые доли. Число 8 является двухкратным с двумя третями для числа 3.
Однако, кажется я опять написал слишком много и скучно, а за окном уже светает. Так что я пока прекращу дозволенные речи, а в следующей статье мы устроим лабораторную работу - будем получать из равенства все перечисленные здесь типы неравенств.
Не забудьте взять халат, подписывайтесь, ставьте лайки и следите за обновлениями. Всем пока!