Мы продолжаем рассматривать свойства натуральных чисел, изложенные последователем секты Пифагора Никомахом Герасским в труде "Введение в арифметику". О свойствах четных и нечетных чисел речь шла здесь и здесь.
Так же, как любой объект состоит из своих частей, так же любое число состоит из своих долей. Существуют объекты разной степени красоты: от уродливых по прекрасных, все зависит от избытков или недостатков, составляющих их частей. Если все части взяты ровно в том количестве, в котором нужно, объект будет прекрасен.
Об объектах мира чисел можно сказать то же самое. Бывают совершенные числа, а бывают избыточные и недостаточные.
Совершенные числа должны равняться сумме своих долей. Так же, как мало прекрасных объектов в окружающем нас мире, совершенные числа встречаются далеко не часто.
Первым совершенным числом является число 6, ведь его вторая, третья и шестая части в сумме дают ровно 6, не больше и не меньше.
Второе совершенное число - 28. Оно имеет вторую, четвертую, седьмую, четырнадцатую и двадцать восьмую доли, и сумма этих долей равна самому числу 28.
Алгоритм получения совершенных чисел состоит в следующем:
- Возьмем два ряда: ряд первичных несоставных, т.е. простых чисел, и ряд четно-четных чисел, начиная с единицы.
- Станем последовательно складывать каждое число четно-четного ряда с суммой предыдущих чисел этого ряда. Сначала сложим числа 1 и 2 и получим 3.
- Если полученная сумма находится в ряду простых чисел (а число 3 там находится), то умножим ее на последнее прибавленное четно-четное число (в данном случае на 2) и получим совершенное число (в данном случае 3*2=6).
- Если же полученная сумма не находится в ряду простых чисел, то продолжим прибавлять к ней последовательные четно-четные числа и проверять на первичность.
- Продолжим выполнять алгоритм для поиска следующих совершенных чисел.
То, что это алгоритм действительно не пропускает ни одного четного совершенного числа, доказал в XVIII веке Леонард Эйлер.
Существование или отсутствие нечетных совершенных чисел не доказано до сих пор.
На январь 2018 года известно 50 совершенных чисел. Бесконечность множества совершенных чисел так же до сих пор не доказана.
О совершенных числах пока все. В следующей статье читайте об избыточных и недостаточных числах.
Подписывайтесь, ставьте лайки и следите за обновлениями.