Олимпиадная математика

Начнем с самой известной классической задачи про волка, козу и капусту. Крестьянин должен переправить через реку волка, козу и капусту на лодке, вмещающей только его самого и один предмет или животное. Главная сложность в том, что если оставить без присмотра волка с козой, волк съест козу, а если оставить козу с капустой — коза съест капусту. В присутствии же самого крестьянина никто никого не ест. Нужно найти правильную последовательность действий для безопасной переправы. Решение Последовательность шагов: Подобные задачи (посложнее) нередко встречаются на математических олимпиадах...

Не секрет, что школьники плохо усваивают последовательности и прогрессии. Помочь в освоении может логика рассуждений и вычислений. Сначала определимся. Последовательность в математике — это упорядоченный набор элементов (чаще всего чисел). Каждому элементу присвоен свой порядковый номер — натуральное число (1, 2, 3 и так далее). Сами элементы называют членами последовательности, а их номер — индексом. Будем искать что-то в последовательностях. Покажем на примерах. Начнем с самых простых. Пример 1...

Переливание воды с определенными ограничениями - одна из любимых тем на олимпиадах по математике. Задачи доступны для 5-6 классов, хотя есть и посложнее. Встречаются даже на ЕГЭ по профильной математике. Решаются логически. Покажем на примерах. Задача 1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды? Решение. Заметим, что 2 четное, а 5 нечетное. Дальше все просто: набираем 2 литра, переливаем в 5, еще раз и еще раз. В результате заполним емкость 5 литров, а в банке емкостью 2 литра останется 1 литр...

Взвешивания на чашечных весах один из распространенных видов олимпиадных задач на равенства. И это понятно: равновесие и есть равенство. Есть несколько архетипов таких задач. В основном взвешивания практикуют в олимпиадах 5-8 классов, но есть и задачи для 9-11 классов, и даже среди заданий 19 (олимпиадного) профильного ЕГЭ. Разберем. Этот тип в последние годы встречается не очень часто. Решаются такие задания просто. Даже без уравнений. Вот пример. Задача 1. Как известно, чашечные весы приходят в равновесие, когда на обеих чашах одинаковый вес...

Казалось бы, что такого в разложении числа на простые множители и зачем такие задачи в олимпиадах по математике? Однако следует признать, что здесь все не так просто. Посмотрим на примерах. Не все знают, что она основная, да и по-моему она и не основная вовсе. Но название прижилось. Речь вот об этом. Любое натуральное число (кроме единицы) можно представить в виде произведения простых множителей, и притом единственным образом (с точностью до порядка сомножителей). Грубо говоря, число 72 можно представить в виде произведения 2х2х2х3х3 и никак иначе...

Эта тема, незаслуженно почти забытая в математике школьной, весьма полезна для развития математической логики. Начнем с того, что дети лишь формально понимают эти понятия. Иначе бы они не затруднялись в отношении нуля к четным числам. Впрочем, по порядку. Сложение и вычитание: • Четное + четное = четное; четное - четное = четное • Четное + нечетное = нечетное; четное минус нечетное = нечетное; нечетное минус четное = нечетное • Нечетное + нечетное = четное; нечетное минус нечетное = четное Умножение...