Геометрия. 9 класс. Тригонометрия.

Задача: Докажите, что для любого треугольника, длины сторон которого a, b и c, верно соотношение если угол γ лежит против стороны c. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Построим треугольник со сторонами a, b и c, напротив которых лежат углы α, β и γ соответственно. Впишем в него окружность с центром O и проведём из него высоты OM, OK, ON на стороны AB, BC и AC соответственно (см рисунок). Вычислим площадь данного треугольника двумя разными способами: 1...

Задача: Диагонали четырёхугольника разбивают его на 4 треугольника. Центры окружностей, описанных вокруг них, образуют новый четырёхугольник. Найдите отношение площади нового четырёхугольника к площади данного, если угол между его диагоналями равен φ. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров его сторон ⇒ OC1 = CC1, BB1 = OB1, AA1 = OA1, OD1 = DD1...

Задача: В прямоугольный треугольник с углом 30° вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь треугольника, образованного точками касания этой окружности с его катетами и гипотенузой. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: S△MKN = S△KOM + S△KON + S△MON. S△KOM = 1/2 * KO * OM * sin(∠KOM) = sin(∠KOM)/2. Найдём ∠KOM: ∠KOM = 360° - ∠AKO - ∠AMO - ∠KAM = 330° - ∠AKO - ∠AMO...

Задача: Пользуясь рисунком, докажите: ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Найдём sin α * cos α: S△BCD = 1/2 * BC * CD. BC = BD * cos α; CD = BD * sin α. ⇒ S△BCD = 1/2 * BD * cos α * BD * sin α = 1/2 * BD^2 * sin α * cos α ⇒ sin α * cos α = 2 * S△BCD/ BD^2. Найдём sin β * cos β: S△BAD = 1/2 * AB * AD. AB = BD * cos β; AD = BD * sin β. ⇒ S△BAD = 1/2 * BD * cos β * BD * sin β = 1/2 * BD^2 * sin β * cos β ⇒ sin β * cos β = 2 * S△BAD/ BD^2...

Задача: Внутри параллелограмма взяли точку. Из неё на все его стороны опустили перпендикуляры. Их основания образуют новый четырёхугольник. Найдите отношение площадей этого четырёхугольника и параллелограмма, если один из его углов равен φ. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Площадь ABCD можно выразить по-разному: 1. SABCD = AB * AD * sin φ 2. SABCD = MK * AD 3. SABCD = NL * AB Умножим второе...

Задача: Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет одну четверть от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: В △AMB: BM = AB * sin α; ∠ABM = 90° - α. ∠BAD = ∠BCD = α по св-у параллелограмма. В △BNC: BN = BC * sin α; ∠CBN = 90° - α...