Этюды о бесконечности

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к вопросам бесконечности, и, конечно, здесь не обойтись от её первого и настоящего повелителя - великого немецкого математика Георга Кантора. Актуальным вопросом, который поглощал внимание Кантора, было существование бесконечностей, которые не равномощны друг другу. Напомню, что два множества являются равномощными, если между их элементами можно установить биекцию - взаимно-однозначное соответствие. Другое важное понятие, которым оперировал Кантор, - счетные множества...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к известной математической задаче, которая носит наименование "базельской". Дело в том, что её придумал в 1689 году профессор из Базеля Якоб Бернулли, а решить смог только в 1735 году легендарный Леонард Эйлер. Задача состоит в нахождении значения ряда обратных квадратов: Сам Эйлер сначала привёл решение, которое подверглось критике по причине некорректности некоторых моментов. Уже потом он опубликовал строгое изложение решения, а затем таких решений было показано огромное количество подходов...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу решить с Вами очередной пример, посвященный бесконечным рядам. Итак, требуется найти сумму членов ряда: В знаменателе у членов ряда вполне себе понятная сумма натуральных чисел с известной формулой: Тогда мы можем записать наш ряд в более компактном виде: Теперь нужно поработать с дробью...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю Вам сегодня погрузиться в увлекательный мир математического анализа и обратить свой взгляд на бесконечно вложенные радикалы вида: Невероятно, но для любого неотрицательного z это выражение имеет вполне себе конкретное значение и, более того, вычислимое абсолютно школьными методами. Если не хочется читать доказательство, а просто интересна конечная формула, переходите в конец материала Однако, чтобы наше гордое заявление нельзя было опровергнуть, нужно строго доказать, что итоговое значение в принципе существует...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я Вам покажу как с помощью простых математических операций получить одну из самых сумасшедших математических формул в истории. Конечно для этого нам нужно погрузиться в "фонтан бесконечности". Итак, поехали! Давайте подумаем, чему, например, равна сумма следующего бесконечного ряда: В математическом анализе легко показывается, что данный ряд является расходящимся, т.к. каждая его частичная сумма больше, чем предыдущая. Но есть манипуляции, которые могут неплохо так "выбить почву из под ног"...

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале я рассказывал про одно красивое доказательство иррациональности числа √2, в котором использовал один из классических методов доказательства от противного - метод бесконечного спуска. Разработал его всем известный француз Пьер Ферма прежде всего с целью решения диофантовых уравнений в целых числах. Метод опирается на фундаментальное свойство натуральных чисел - вполне упорядоченность. Давайте с ним познакомимся, а затем рассмотрим пример решения на конкретной задаче...