Олимпиады

Всем добрый день! Сегодня решим задачку с отборочного этапа олимпиады Ломоносов 2022/2023 года: В задаче просят найти площадь выпуклого четырехугольника, образованного точками, являющимися решениями данной системы уравнений. Для начала поработаем с первым уравнением: Его можно решить, как квадратное уравнение от любой из двух переменных, но мне сразу в глаза бросилась группировка: Вынесем общие множители за скобки: И еще разок: Итак, первое уравнение "распадается" на совокупность: Поработаем со...

Всем привет, дорогие любители математики! Сегодня мы продолжаем разбираться с задачами из физтеха уже прошлого года. [С задачами, которые я хотел разобрать еще в прошлом ноябре, но...] При каких значениях a и b неравенство верно на отрезке [-5/2; 7/2] при любых значениях x? Давайте левую и правую части двойного неравенства обозначим за функции: Найдем значения функций на границах отрезка (вычисления опустим): Заметим, что функция f(x) — это половина окружности, а q(x) — парабола. Нарисуем эскиз: Чтобы двойное неравенство имело решение, график третьей функции должен лежать между ними...

Всем привет, дорогие любители математики! Сегодня мы продолжаем разбираться с задачами из физтеха уже прошлого года. [С задачами, которые я хотел разобрать еще в ноябре, но...] Итак, сегодня в номере отличная тригонометрия: В оригинале нужно было найти разность tg x - tg y. Этим и займемся. Для начала поработаем со вторым уравнением. Разделим его на 2: У нас получились некоторые табличные значения некоторых тригонометрических функций! Вспомним каких: Если записать второе уравнение в такой форме, то сразу проглядывает формула синуса суммы...

Всем привет, дорогие любители математики! Творческий отпуск, как обычно затянулся — ну что поделать, как говорится работе — время, а хобби — час. Продолжим, где остановились, на очном этапе олимпиады прошлого года: Условие стоит перечитать несколько раз, чтобы осознать, что же нам дано. Затем, конечно, построить чертеж: Рассмотрим подробно треугольник NCP. Что в нем есть? Обратим внимание на угол NCP: Запишем тангенс, как отношение катетов: С другой стороны, теорема Пифагора: Воспользуемся этими...

Всех приветствую! Сегодня мы продолжим разбирать очный этап олимпиады "Физтех" 2022 года. В качестве задачи на 4 балла детям было предложено следующее неравенство: Давайте разбираться! В самом начале стоит записать область допустимых значений логарифмов: Аргументы каждого из логарифмов при таких условиях положительны, поэтому дополнительно никаких условий не возникнет. Перезапишем: Запишем область допустимых значений для корня: Неравенство такого вида эквивалентно рациональному неравенству: Воспользуемся...

Всем добрый день, дорогие любители математики! Сегодня начинаем новый цикл задач, а именно — разбор задач с олимпиады "Физтех". Итак, задача номер один: Сразу бросается в глаза корень — он страшный, но одинаковый в обоих уравнениях. Давайте вычтем из второго первое уравнение: Улов небольшой, но, кажется, важный. Что видно еще? Под корнем разность квадратов. Разложим: В каждом корне есть множитель, значение которого мы знаем, давайте подставим: Отлично! А корень из -64 мы вполне можем извлечь: На этом моменте главное не оплошать...