Геометрия. 9 класс. Теорема синусов.

Задача: В  прямоугольной трапеции  ABCD угол D равен 60°. Из  точки A на  сторону CD опущен перпендикуляр  AH, а на стороне  AB взята точка E так, что отрезок CE параллелен отрезку  AH. Найдите отношение  BH : DE. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим четырёхугольник ABCH: противоположные ∠ABC + ∠AHD = 90° + 90° = 180° ⇒ ABCH можно вписать в окружность, диаметром которой будет являться AC, поскольку на него опирается вписанный прямой угол...

Задача: Стороны  AB и  BC треугольника равны 8  и 6, а  угол между ними 150°. Из  точки  M, находящейся в  одной полуплоскости с  треугольником относительно прямой  AC, эти стороны видны под углами 30°. Найдите отрезок  MB. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: В вогнутом четырёхугольнике ABCB: ∠ABC = 360° - 150° = 210°; сумма углов вогнутого четырёхугольника равна 360° ⇒ ∠MAB + ∠MCB = 360° - 210° - 60° = 90°. Пусть ∠MAB = α, тогда ∠MCB = 90° - α...

Задача: В  окружность радиуса 5  вписана трапеция с  боковой стороной, равной 8. Найдите радиус окружности, проходящей через концы боковой стороны трапеции, и  точку пересечения её  диагоналей. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим трапецию ABCD: трапеция может быть вписанной только в том случае, если данная трапеция равнобедренная...

Задача: Четырёхугольник  ABCD вписан в  окружность, а  его диагонали пересекаются в  точке  E. Известно, что CD = ED, AD = 5, BC = 6. Найдите радиус окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть ∠ECD = α, тогда по св-у равнобедренного треугольника ∠CED = α ⇒ ∠EDC = 180° - 2α...

Задача: В  окружности проведены две перпендикулярные хорды  AB и  CD. Найдите радиус окружности, если AC = a, BD = b ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Проведём диаметр DE, тогда опирающиеся на диаметр углы ∠DCE = ∠DBE = 90°. AB⟂DC и CE⟂DC ⇒ AB∥EC. Рассмотрим четырёхугольник...

Задача: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые BC и AD — в точке K. Найдите отрезок BK, если DM = 3, AM = 4, AK = 5. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть ∠BCD = α, а ∠CBA = β, тогда по св-у вписанного четырёхугольника ∠BAD = 180° - α и ∠ADC = 180° - β...