Геометрия. 9 класс. Теорема косинусов.

Задача: Шесть равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей четырёх голубых треугольников равна сумме площадей двух жёлтых. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: S△ABN = S△BDN так как они правильные с общей стороной, по той же причине S△BCF = S△CFL. Пусть стороны мéньших голубых треугольников равны a, бо́льших голубых - b. Также пусть ∠ABC = α, тогда ∠DBF = 360° - 60° - 60° - 60° - α = 180° - α...

Задача: Около окружности описан четырёхугольник, один угол которого прямой. Противоположный ему угол равен 60°, а  прилежащие к  нему стороны равны 8 и  15. Найдите две другие стороны этого четырёхугольника. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По св-у описанного четырёхугольника x + 15 = y + 8 ⇒ y = x + 7...

Задача: В  четырёхугольнике  ABCD углы  B и  C равны  120°, AB = 2, BC = 5, CD = 10. Найдите  AD. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Проведём отрезок BD. В △BCD по теореме косинусов BD = √(5^2 + 10^2 - 2 * 5 * 10 * cos 120°) = √(25 + 100 + 50) = √175 = 5√7. По выражению косинусов углов треугольника через его стороны: ∠CBD = (5^2 + (5√7)^2 - 10^2)/(2 * 5 * 5√7) = 100/50√7 = 2√7/7...

Задача: Одна сторона четырёхугольника видна из  двух других его вершин под прямыми углами. Найдите эту сторону, если противоположная от неё сторона равна  7, а  две другие равны  2. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: (Через теорему синусов) Рассмотрим прямоуг. △ABD и △DCA: 1) AB = CD(по усл.) 2) AD - общая ⇒ △ABD = △DCA по катету и гипотенузе ⇒ все соответствующие элементы равны. По условию сторона x видна из  двух других...

Задача: Два квадрата имеют общую вершину. Их  стороны равны  2 и 3, а  расстояние между серединами показанных на  рисунке сторон равно 5. Найдите площадь треугольника, образованного двумя сторонами этих квадратов, выходящими из их общей вершины. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Проведём отрезки MC и CN. В прямоуг. △CBM: по теореме Пифагора CM = √(1^2 + 2^2) = √5. sin∠BCM = 1/√5 = √5/5; cos∠BCM = 2√5/5. sin∠MCD = sin(90° - ∠BCM) = cos∠BCM = 2√5/5...

Задача: Точка  M — середина стороны  BC  равностороннего треугольника ABC, точка E лежит на продолжении стороны AB, причём  AE = AB. Серединный перпендикуляр к  отрезку  ME пересекает прямую AC в  точке  K. Выясните, где находится точка  K: на  стороне  AC  или на  её продолжении. Найдите  AK : CK ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть BM = x, тогда по св-у правильного треугольника AB = AE = 2x. Предположим, что точка K лежит на стороне AC, тогда серединный перпендикуляр обязательно пересечёт сторону AB (см...