Геометрия. 9 класс. Подобные треугольники в окружности.

Задача: Из точки A проведены касательные  AB и AC к окружности с центром в  точке O и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; точка M — середина отрезка BC. Докажите, что точки M, O, D и E лежат на одной окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По теореме об отрезках касательных AB = AC ⇒ △BAC - равнобедренный. AM - медиана, проведённая к основанию р/б треугольника ⇒ по св-у р/б треугольника медиана AM также является высотой и биссектрисой...

Задача: Хорда AB разбивает круг на два сегмента. В один из них вписали произвольную окружность. Докажите, что длина касательной к этой окружности, проведённой из середины дуги другого сегмента, не зависит от  выбора вписанной в сегмент окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Для решения данной задачи нам потребуется знания о лемме Архимеда, поэтому поделим решение данной задачи на 2 части: знакомство с леммой и её доказательство, и решение задачи с помощью данной леммы...

Задача: Боковые стороны треугольника равны a и b, а его основание  — c. Окружность проходит через вершины основания и вторично пересекает боковые стороны в точках M и K. Найдите длину отрезка MK, если известно, что он касается вписанной в треугольник окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть BC = a, AC = b и AB = c. По св-у касательных к окружности, вписанной в угол, касательная, проходящая между между данной...

Задача: Хорда AB разбивает окружность на два сегмента. В меньший из  сегментов вписали вторую окружность, касающуюся хорды АВ в середине. На  дуге большего сегмента взяли такую точку C, что вписанная окружность треугольника ABC равна второй окружности. Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 2. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По теореме об отрезке касательных CL = CP, AK = AL и BK = BP. Заметим, что AK + BK = 2 ⇒ AL + BP = 2...

Задача: Две окружности касаются внешним образом в точке O. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую в точке K. Прямая MO пересекает вторую окружность в точке N. Найдите отрезок KN, если MO = 5, а  NO = 4. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Через точку O проведём общую касательную для обеих окружностей, она пересекает MK в точке P. Продолжим OK до пересечения с первой окружностью в точке Q и проведём хорду MQ (см рисунок) По теореме об угле между касательной и хордой ∠MOP = ︶OM/2 ⇒ ∠MOP = ∠MQO...

Задача: В трапеции ABCD боковая сторона  AB перпендикулярна основанию  BC. Окружность проходит через точки C и  D и  касается прямой  AB в  точке  E. Найдите расстояние от точки E до  прямой  CD, если  BC = 4, AD = 9. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Поскольку требуется найти расстояние, то EH⟂CD. Продолжим AB и CD до пересечения в точке F...