Задачи студенческих олимпиад

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Попробуем подставить бесконечность вместо n. Увидим, что первый множитель стремится к плюс бесконечности, а квадрат синуса пробегает все возможные значения от нуля до единицы. Т.е. второй множитель не стремится ни к какому пределу. Из этого следует, что найти предел простой подстановкой невозможно. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела. Это можно сделать двумя способами...

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Для начала разберемся, что же нужно сделать. Термин «непрерывная функция», наверняка, знаком всем. В задаче же говорится о непрерывно дифференцируемой функции. Этот термин означает, что непрерывной будет не только сама функция, но и ее производная. Непрерывно дифференцируемую функцию также называют гладкой. Связано это с тем, что функция, задающая гладкую кривую (т.е. кривую без угловых точек) имеет непрерывную производную...

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! На первый взгляд непонятно, почему эта задача включена в сборник олимпиадных заданий. Казалось бы, и формулы известны, и функция достаточно простая. Начнем искать уравнения прямых. При нахождении коэффициента k используется правило Лопиталя, а для нахождения свободного члена b - основное свойство логарифма. В чем же все-таки подвох? Можно заметить, что exp(2x) неограниченно увеличивается только в том случае, когда x стремится к плюс бесконечности...

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Может показаться, что интеграл - неберущийся и без квадратурных формул не обойтись. Однако можно достаточно быстро найти его значение, используя свойства определенных интегралов. Нечетность подынтегральной функции Прежде всего заметим, что подынтегральная функция – нечетная. В самом деле, область определения – вся числовая прямая и Симметрия отрезка интегрирования Если бы отрезок интегрирования был симметричен относительно начала координат, то интеграл был бы равен нулю...

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи студенческих олимпиад» Здравствуйте, уважаемые любители математики! Можно, конечно же, разложить подынтегральную функцию на элементарные дроби. Однако этот способ приводит к громоздким вычислениям. Решим по-другому. Заметим, прежде всего, что знаменатель можно разложить по формуле суммы кубов. Далее, внимательно посмотрев на неполный квадрат суммы, увидим, что он отличается от числителя только слагаемым x^2. Вычтем и тут же прибавим в числителе x^2...

Математика онлайн. Доступно о сложном Здравствуйте, уважаемые любители математики! Для вычисления данного интеграла сделаем замену переменной: Подставим полученные выражения и упростим подынтегральное выражение. Поменяем местами пределы интегрирования, при этом перед интегралом появится знак «минус». Видим, что получился интеграл, совпадающий с первоначальным по модулю, но имеющий противоположный знак (смена обозначения не влияет на значение интеграла)...