Теория чисел на пальцах

Это ответы на задания, появлявшиеся в серии заметок Теория чисел на пальцах. Все эти задания касались конечного кольца ℤ/12ℤ, то есть конечной арифметики на циферблате обычных часов. Часть 1 Вот как выглядят "звёздочки" для этой арифметики, то есть траектория, которая получится при многократном прибавлении одного и того же числа. Мы видим, что все "звёздочки" в ℤ/12ℤ, кроме, той, что получается прибавлением 5 (или 7 = −5), превращаются в правильные многоугольники с числом вершин, кратным 12. Теперь...

А вы задумывались, почему можно использовать для записи чисел строчки из цифр? Понятно, что много веков назад индусы придумали отличную систему счисления, потом арабы принесли её в Европу и теперь мы все учим её в школе. Понятно также, почему система именно десятичная. Вопрос не в этом: почему эта система работает? Я не буду сейчас рассказывать вам, что число это абстракция количества, или уверять, что число это просто. Нет, числа — это хитрая вещь, раз уж эта заметка шестая в целой серии заметок...

Как известно математикам и любителям математики, простые числа не так уж и просты. С ними связаны многие сложные и даже не решённые за сотни лет задачи теории чисел. В конечных арифметиках с ними разобраться должно быть проще, поскольку, все числа в них можно перечислить и выяснить всё про все числа. В этой серии заметок мы исследуем основы теории чисел и колец с помощью двух простых конечных колец вычетов, составленных из пяти и десяти элементов. Мы уже знаем, что в полях, числовых системах, в которых все числа делятся на все ненулевые числа, понятие простоты не имеет смысла...

Как известно, если разделить пять яблок на троих енотов, появится остаток из двух кусочков. Пятый класс, вторая четверть. А как обстоят дела с делимостью в других кольцах? Продолжаем развивать тему конечных арифметик, колец и полей. Ну, что, мы большие молодцы! Мы теперь кое-что знаем про кольца и таблицы умножения в них, про делители нуля и идеалы, про делители единицы, группы обратимых элементов и поля. И все это мы нашли не выходя за пределы пальцев двух рук (лап). Сейчас мы уже в достаточной...

Что бы ещё такого поделить! Ноль мы уже делили и получилось интересно. Пора выяснить на что может делиться единица! В этой серии заметок мы обнаруживаем кое-какие непростые концепции из теории чисел и абстрактной алгебры в простейших конечных арифметиках, доступных каждому, у кого есть пять пальцев на руке или на лапе. Начало серии тут: Напомню, что предмет наших исследований — два кольца вычетов с пятью элементами ℤ/5ℤ, и с десятью ℤ/10ℤ, которые моделируют вычисления на закольцованной числовой оси, либо на циферблате с пятью и десятью делениями...

На что делится ноль? Вы можете сказать: "Да, ни на что он не делится!", и будете правы, пока думаете о целых или натуральных числах. Но числовые системы бывают разные и в некоторых из них вопрос из заголовка не только имеет смысл, но и даёт глубокое понимание природы числа, как алгебраического объекта. Продолжаем серию заметок, посвящённых "внутреннему устройству" числовых систем на примере пальцев на руках. Начало серии тут: * * * Целых чисел очень и очень много, но среди них нет ни одного делителя нуля, то есть такого числа x, которое могло бы быть решением уравнения: ax = 0 при a, x ≠ 0...