Задачи на смекалку и не только

Пришло время опубликовать решение задачи про огурцы из предыдущей статьи, хотя можно было бы и не писать этот пост, Сергей Матвеев уже предложил в комментариях идеальное (именно то, под которое задача и сочинялась) доказательство. Но раз обещала, то напишу. Напомню условие: слева 5 зубков чеснока и 4 огурца, справа тоже 4 огурца, но 6 зубков чеснока. За один ход можно поменять пару зубков из одной части на 1 или 3 огурца из второй. Можно ли добиться того, чтобы все огурцы оказались с одной стороны, а чеснок - с другой? Давайте рассуждать: зубки чеснока мы берем только парами, значит если слева было нечетное количество, то так нечетное и останется, убрать весь чеснок вправо точно не получится. Весь чеснок может оказаться только слева. Для этого надо сделать минимум три хода. Можно и больше, если перекладывать какие-то из зубков туда-обратно. Но что интересно - раз ходы туда-обратно могут быть только парами, то общее число ходов, в результате которых весь чеснок окажется слева, точно будет нечетным! Эта неприметная деталь играет в задаче решающую роль (решить-это найти решение или доказать, что его нет). За нечетное число ходов мы не можем переложить четное число огурцов, а значит добиться того, чтобы весь чеснок оказался в левой части стола, а все огурцы в правой, мы тоже не сможем. И даже теорию графов изобретать для доказательства не пришлось! Кстати, если убрать пятый зубок из части слева, то задача решается очень просто, но если при этом разрешить перекладывать огурцы не по 1 и 3, а только по 1 или 5 - то она головоломка снова останется без решения, хотя с четностью никаких проблем в этом случае не будет. Автору канала Про математику и жизнь спасибо за рецепты засолки - сделала горячим способом. Хотела решение на соленых огурцах показать, но как-то быстро мы их съели, сфотографировать не успела. Всем хорошего урожая, позволяющего обеспечить себя вкусными соленьями!

Кто как развлекается! Праздновали вчера день рождения племянника и как-то между делом разговор зашел о том, что коллега сестры недавно попросила помочь дочке решить несколько задач, очень срочно. Задачи оказались из олимпиады за восьмой класс. Другой мой племянник - студент факультета прикладной математики что-то успел решить, а задачу по геометрии не сделал. Меня, конечно, заинтересовало, что там за задача, а в итоге 7 человек из присутствующих на празднике её решали: кто-то серьезно задумался и довел до ответа, кто-то частично подключался к решению других. Первым справился мой папа, хотя по образованию он не математик и по работе с математикой связан не был. Так что я лишний раз убедилась, что любовь к точным наукам на пустом месте не возникает, а идет из ближайшего окружения, из семьи. А если кому интересно, то сама задача на фото. Приятного всем времяпрепровождения! Каким бы Вы себе его не представляли!

Две задачи с похожим условием, но разным решением. Задача 1. Семья из пяти человек отмечала день объятий и в честь праздника каждый обнялся каждым. Сколько объятий было сделано? Задача 2. Семья из пяти человек отмечала день фруктов и в честь праздника каждый подарил каждому по яблоку. Сколько яблок было подарено? Детям я давала их именно в такой последовательности, хотя вторая проще. Почему? Хотела услышать вот такое решение: "Папа обнял маму, двух дочек и сына - всего 4 объятия, мама с папой уже обнималась, так что ей осталось обнять двух дочек и сына - 3 оа обняла брата и сестру - 2 объятия, а ее брату осталось обнять только младшую сестричку - еще одно объятие, всего 10." Но оба моих школьника сначала решили неправильно, просто сочли, что раз каждый из пяти человек обнял остальных четырёх, то остальных, то объятий было 20. Провели эксперимент с тремя членами семьи, выяснили, что такой подход дает сбой. Сын сразу после этого раздел на 2, а дочка все-таки решила через сумму. Вторую задачу оба решили правильно. Уже после этого мы обсудили оба решения первой задачи, обратили внимание на то, что не только 4+3+2+1=4*5/2, но и с другими числами есть похожие закономерности. Но почему я люблю такие задачи с похожими условиями и разными решениями? Потому что в современном мире техника может сделать много, и провести точный расчет по какой-то сложной формуле машинам не составляет труда! А в таких задачах, по моему дилетантскому мнению, искусственный интеллект еще не скоро опередит думающих людей! А почему? А потому, что у каждого из нас есть опыт человеческой жизни, потому, что когда мы приходим в школу после летних каникул, нам важно не только получить там формальные знания, но еще обнять своего соседа по парте и обменяться с ним сувенирами, привезенными из отпуска! Так что закончу сегодня словами своей мамы: "Ты его сначала обними, по головке погладь, а потом уже учи!"

Жизнь подкинула задачку, которой я решила поделиться со своим сыном. Результат порадовал! Зашла в магазин за стиральным порошком, стала смотреть какой выгодней и с помощью приблизительной прикидки выяснить не смогла. Вычислять устно цену за килограмм с необходимой точностью не очень хотелось, но нашелся способ обойти этот момент. Купила порошок и пошла встречать сына из музыкальной школы. Показала ему фотографии ценников. Он попытался сравнить по количеству стирок и по массе, решил все-таки по массе сравнивать (к моему удивлению). Рассуждал так: "Надо до целого хотя бы довести. 2,4 и 2,4 - это 4,8, 4,8 и 2,4 будет 7,2, еще 2,4 - это 9,6 и еще 2,4 - 11". Остановила его, предложила еще раз посчитать 9,6+2,4, быстро справился, получил 12 и очень обрадовался: "Ура, как повезло! А сколько я раз 2,4 складывал?" Понял, что придется пересчитывать, хотел отказаться от этой затеи, но у меня зазвонил телефон, так что пару минут все равно ему было нечем заняться, пересчитал. Чтобы умножить 320 (копейкой пренебрег) на 5 умножил сначала на 10, а потом разделил на 2 (это бабушка научила), получил 1600 руб. Потом переспросил меня сколько стоит большая пачка, умножил 800 на 2, тоже получил 1600 руб и поинтересовался какой порошок я выбрала и почему. Потом предположил, что порошки одной фирмы всегда стоят одинаково, но мы как раз мимо еще одного магазина проходили, зашли и проверили. А после того, как я рассказала ему, что недавно две пачки масла по 180 гр купила дешевле, чем стоила одна пачка 350 гр сказал: "Не зря говорят, что математика всегда пригодится!"

Все началось вот с этой задачи (на фото). Раньше я ее уже встречала, но все равно задумалась. Подумала - подумала, подняла глаза, увидела комнату, усеянную игрушками и проассоциировала себя с теми самыми коровами. Только у них на лугу трава растет, а у меня по комнатам куклы с конструктором раскидываются. Сразу в голове возникла нелинейная модель ведения домашнего хозяйства в больших семьях. Итак: предположим, что женщина без ребенка может убрать в квартире за полтора часа, а мама с одним ребенком - за 2 часа. Сколько времени потратит мама троих ребятишек? С первого взгляда задача кажется очень простой: без детей полтора, с ребенком - два, с двумя детьми - два с половиной, с тремя - три. Все бы хорошо, но эта модель работает только в случае, если мы дополнительные 30 минут на каждого ребенка тратим, чтоб собрать его и отдать бабушке. А если он остается с мамой? Получается так: 1 час 30 минут требуется, чтобы помыть полы и протереть пыль, но ребенок требует внимания и отвлекает маму 30 минут (или успевает нарисовать на обоях картину, отмывание которой потребует еще 30 минут, не важно). 30 минут из двух часов, значит 15 минут в час. Если детей двое, то каждый требует по 15 минут в час, мама убирает оставшиеся 30 минут из каждых шестидесяти, и уборка занимает 3 часа. Если детей трое, то на вытирание пыли, а не разлитой из ведра воды, которой мама собиралась мыть полы, занимает только 15 минут в час и на приведение квартиры в порядок требуется уже 6 часов. А если вернуться к условию задачи про коров, то получается, что с четыремя детьми можно пастись, то есть убирать, вечно. На самом деле это все, конечно, шутки. И я ни в коем случае не жалуюсь. Скорее радуюсь, что в жизни иногда все оказывается интересней устроено, чем кажется с первого взгляда. А нелинейный законы иногда и на пользу идут! Бывает, что трое оказываются не намного хлопотней чем один, а иногда смотришь как они вместе что-то делают и понимаешь, что большего счастья и не надо! В конце могу только пожелать всем радоваться жизни независимо от того, умеете ли вы отмывать маркер с обоев, и был ли повод в этом убедиться!