Геометрия. 9 класс. Подобие треугольников.

Задача: Через точку внутри треугольника проведены три прямые параллельно всем его сторонам. Найдите площадь исходного треугольника, если площади отмеченных треугольников на рисунке равны S1, S2 и S3. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Образованные маленькие треугольники подобны между собой, поскольку образованы параллельными прямыми. Из подобия △DEN ~ △MNK следует, что EN/NK = √(S1/S3); EN = NK * √(S1/S3). Из подобия △NFG ~ △MNK следует, что FN/MN = √(S2/S3); FN = MN * √(S2/S3)...

Задача: Параллельно двум сторонам треугольника ABC провели две прямые. Они разбили треугольник на  две трапеции, треугольник и  параллелограмм. Цифрами обозначены площади трапеций и  треугольника. Найдите площадь параллелограмма. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Треугольники △AMP ~ △KLP, так как образуют стандартное положение "пирамида". S△AMP = SAMLK + S△KLP = 3 + 1 = 4. Тогда коэффициент подобия k = √(S△KLP/S△AMP) = √(1/4) = 1/2...

Задача: На  основании трапеции взяли произвольную точку T. Через неё провели две прямые параллельно диагоналям трапеции. Они пересекли боковые стороны трапеции в точках  M и K. Отрезок MK пересекает диагонали трапеции в точках P и E. Докажите, что MP = EK. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Треугольники △AGM ~ △AOB так как они образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MG/BO = AG/AO; △AGT ~ △AOD, поскольку также образуют положение "пирамида" ⇒ GT/OD = AG/AO ⇒ MG/BO = GT/OD; MG/GT = BO/OD...

Задача: Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе угла A. Эта прямая пересекает стороны AB и AC в  точках X и Y соответственно. Докажите, что 4 ⋅ BX ⋅ CY = XY^2. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим треугольник △ABC с углами 2α, 2β и 2γ. Впишем в треугольник окружность и проведём отрезки биссектрис AO, BO, CO (см. рисунок)...

Задача: Периметр треугольника ABC равен 9. В треугольник вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная стороне  AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами  AC и  CB, равен 1. Найдите сторону AB. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По теореме об отрезках касательных AL + BK = AB; ML + NK = MN = 1. Тогда периметр треугольника P△MCN = P△ACB - AB - (AL + AK) = 9 - 2AB...

Задача: В  прямоугольной трапеции ABCD с  прямыми углами  A и B. E — точка пересечения диагоналей, а  F — основание перпендикуляра, опущенного из  точки  E на  боковую сторону  AB. Докажите, что угол  CFE равен углу  DFE. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По св-у трапеции диагонали делят друг друга на отрезки, пропорциональные её основаниям ⇒ BE/ED = BC/AD...