Классика жанра

Судя по комментариям к различным статьям этого и других математических каналов, пора поговорить на одну из животрепещущих тем популярной математики: о бесконечности. Можно бы, как полагается в сухой математической статье, ограничиться строгими определениями, следствиями и замечаниями, но тогда математиков, окончательно заклеймят формалистами, занудами и перестанут читать. И всё это из-за меня! Поэтому я позволю себе отойти от формализма, рискуя при этом вызвать нарекания от математиков в небрежности...

В комментариях к моей статье о странных аттракторах @Евгений Лепешев задал ряд вопросов, размышления о которых не умещаются в формат "переписки в комментах". Поэтому я решился на развёрнутый ответ в виде статьи, тем более, что подобные вопросы возникают не только у людей думающих и интересующихся математикой, но и тех, кто вынужден изучать математику в школе или в университете, хоть они сами о том и не просили. Позволю себе привести комментарий Евгения полностью: Сергей, Вы огласили свою программу - рассказать про математику, её целостность и красоту...

В непрофессиональных околоматематических сообществах любят обсуждать теорему Гёделя о неполноте, вопросы разрешимости, проблему остановки, природу динамического хаоса и всевозможные математические парадоксы. При этом участники дискуссии, иной раз увлекшись, подвергают сомнению математику в целом, поскольку «она несостоятельна в своих основах», допускает незнание, как корректный ответ и, вообще, формально доказать можно «что угодно», вот, хоть что 1 + 2 + 3 + ... = –1/12. Короче, ерундой математики занимаются, нет чтобы научиться погоду предсказывать, или стоимость акций...

В рубрике «Классика жанра» мы рассматриваем банальные темы нетривиальным образом. Тема деления на ноль настолько избитая, что кажется нелепым писать очередную статью об этом, но я рискну. И зайду я не с алгебры и не с уравнений, а с геометрии. Для разнообразия. Удивительное, всë-таки дело, общественное мнение! Невозможность деления на ноль оно воспринимает, как авторитарный запрет, или даже как заговор. Ходят слухи, что учебники не рассказывают о том, почему этого делать нельзя (загляните, и убедитесь, что рассказывают, и вполне удовлетворительно, как в издании 1979 года, так и в 2017-го)...

Подождите! Не торопитесь пролистывать! Этот пост не про "пример, взорвавший Интернет", и не про то "куда катится образование", и даже не про "народ, хорош спорить на пустом месте! ". Я даже вычислять его не буду. Не бывает плохих и совсем никудышных задач, любая может стать поводом узнать что-то новое, полезное или интересное. Я хочу, оттолкнувшись от этого, конечно же, дурацкого примера, рассказать немного о том, как мы мыслим деревьями и превращаем деревья в строки и наоборот строки — в деревья...

А как же! Негласный закон популярной математики предписывает: пишешь про математику — напиши про золотое сечение. Что-нибудь такое "про красоту и гармонию", "про числа Фибоначчи", "про пятиконечную звезду и идеальные пропорции"... ах, да, ещё обязательно "про тайны..." А поговорим мы про по-настоящему глубокое свойство этого числа, о котором вспоминают не так часто, как о других. Дело в том, что это, в известном смысле, самое простое иррациональное число из всех прочих, а их, на минуточку, целый...