Неугомонный паучок

Переход в начало Ещё раз вчитаемся задачу № 5, доставшуюся Васе. Плоскость разбита сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клетки размером 1 м на 1 м. Среди этих прямых обе координатные оси. Единица измерения по каждой оси 1 м. По прямым ползают мухи. Каждая муха стартовала в своё время из начала координат. Её стартовая скорость была меньше некоторой величины W (м/с). Разница могла быть сколь угодно малой. При r=1,2,... муха, достигнув границы квадрата с вертикальной стороной 2r (м)...

Переход в начало Ещё раз прочтём задачу № 4, доставшуюся Ларисе. По плоскости стелется конструкция из отрезков, напоминающая поваленное дерево с обилием веток. Из корня исходит 1 «побег» нулевого уровня. Каждый «побег» n-го уровня ветвится на M(n)>1 «побегов» n+1-го уровня. Суммарная длина «побегов» каждого уровня равна R м, причём все они равны по длине. По «побегам» ползают мухи, не мешая друг другу. Каждая когда-то стартовала из корня «дерева». Двигаться вспять мухе запрещено. При переходе с «побега» n-го уровня на «побег» n+1-го уровня муха уменьшает свою скорость в M(n) раз...

Переход в начало С задачами № 2,3,4 Петя, Витя и Лариса справились за одну ночь. Им открылась удивительная тайна. В вечности всё возможно. Вася застрял с задачей № 5. Челночные движения паучка он не использовал. Белые мухи ему тоже не понадобились. Целую неделю он заставлял паучка рыскать по плоскости, отыскивая таящихся в закоулках чёрных мух. Наконец, вся плоскость оказалась охваченной единым движением паучка, похожим на движение по спирали. Напомним задачу № 2, которая досталась Пете. Имеется множество пронумерованных прямых с общей точкой пересечения, не обязательно конечное...

Переход в начало Напомним задачу № 3, которая досталась Вите. Плоскость разбита сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на клетки размером 1 м на 1 м. Среди этих прямых обе координатные оси. Единица измерения по каждой оси 1 м. По прямым ползают мухи, каждая по своей прямой. Паучок запрыгивает в начало координат и может бегать по всем прямым, перебегая с одной на другую через точки их пересечения. На лапке у него часики и он знает свою скорость. Скорость у него больше, чем у любой мухи, но разница может быть сколь угодно малой...

Переход в начало – Постойте, мы не лучшим образом назначили расстановку воображаемых белых мух. – догадался Петя. – Давайте вычислять расстановку по биркам, возле которых паучок разворачивается. Нам важна не начальная привязка белых мух к расстояниям, кратным H, а неограниченное возрастание расстояния n-ой правой и аналогично n-ой левой белой мухи от НП с ростом n. – Итак, – начала рассуждения Лариса, – в n-ом челночном цикле паучок добирается до бирки N(1,n), разворачивается, добирается до НП, затем до бирки –N(2,n), разворачивается и возвращается в НП...

Переход в начало Итак, прошло три года. Петя, Витя и Лариса стали студентами. Как-то они собрались в гости к Дум Думычу на его день рождения. – Давайте решим, наконец, задачку о паучке, порадуем Дум Думыча. – предложила Лариса. – Если паучок умный, то он может смотреть на бирки, читать, что на них написано, и ориентироваться не на столкновения с мухами, а на бирки. – выдал Петя. Друзья смутно почувствовали, что это хорошая мысль, но с ходу не поняли, что с ней делать. – Если он умный, – прервала молчание Лариса, – то у него должно работать воображение...