Геометрия. 9 класс. Теоремы Чевы и Менелая.

Задача: В четырёхугольнике ABCD угол B равен углу C, а диагонали пересекаются в  точке O. Через точку O параллельно стороне AD провели прямую, которая пересекла стороны AB и CD в  точках M и K. Докажите, что MO : OK = AB : CD. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Треугольники △ABD ~ △MBO, так как образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MO/AD = BO/BD; MO = AD*BO/BD. Также треугольники △ACD ~ △OCK, так как образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ OK/AD = CO/AС; OK = AD*CO/AС...

Задача: На катетах  AС и ВC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты AKLC и BCNE. Докажите, что точка пересечения прямых  AE и BK лежит на высоте этого треугольника, опущенной на его гипотенузу. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Обозначим сторону бо́льшего квадрата за a, меньшего за b. По теореме Чевы для того чтобы чевианы AP, CH и BM пересекались в одной точке, должно выполняться равенство AM/MC * CP/PB * BH/HA = 1...

Задача: Точка пересечения чевиан AP и CQ треугольника ABC лежит на  биссектрисе угла ∠B треугольника. Найдите длину отрезка PC, если известно, что AQ = 20, QB = 30, BP = 25. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич...

Задача: Точки M и  K — середины строн  AF и  DE правильного шестиугольника  ABCDEF. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Найдите CO : OM. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Пусть AM = x, тогда MF = DK = KE = x, и каждая сторона шестиугольника равна 2x. Пусть G - точка пересечения прямых AB и CD. Рассмотрим △BGC: ⇒ △BGC - равносторонний ⇒ GB = GC = BC = 2x...

Задача: Точки M и K — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника  ABCDEF. Отрезки AM и BK пересекаются в  точке  O. Найдите  BO : OK. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть CM = x, тогда MD = DK = KE = x, и каждая сторона шестиугольника равна 2x. Пусть G - точка пересечения продолжении сторон AB и CD. Рассмотрим △BGC: ⇒ △BGC - равносторонний ⇒ GB = GC = BC = 2x. Пусть N - точка пересечения прямых AM и DE (см. рисунок)...

Задача: Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH. В треугольнике ACH проведена биссектриса CL. Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой  CL, пересекает прямую  CH в  точке  K. Докажите, что прямая  KL делит катет AC пополам. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим △ACH и MK: по теореме Менелая HL/LA * AM/MC * CK/HK = 1. Рассмотрим трапецию CLKB: по св-у трапеции диагонали...