📚 Задача №14 ЕГЭ Профильный уровень: Расстояние от точки до плоскости.

✨ Внимание, любители математики! ✨Вы ищете простые и эффективные способы подготовки к ЕГЭ по профильной математике? Тогда вам точно понравится мой канал! Здесь вы найдёте разбор сложных задач, полезные советы и лайфхаки для успешной сдачи экзамена.

Приветствую всех любителей математики!

Сегодня мы разберём одну из наиболее интересных и важных задач профильного экзамена — нахождение расстояния от точки до плоскости.

🔍 Почему именно эта задача? Потому что умение её решать позволяет уверенно набрать дополнительные баллы на экзамене и даёт мощный инструмент для решения геометрических задач вообще!

Давайте приступим и рассмотрим всё пошагово, подробно разбирая каждый этап решения.

Задача:

Решение:

1. Нарисуем куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и на ребре AD в середине отметим точку Т. Оформим краткую запись условия задачи.

Умение правильно построить сечение многогранника — один из важнейших навыков 👌, который необходим каждому школьнику, сдающему ЕГЭ по математике профильного уровня.

Построим сечение α, которое содержит точки A₁, B и Т. Сечение α - это многоугольник на плоскости α, ограниченный многогранником ABCDA₁B₁C₁D₁.

Понимая это, мы можем выработать алгоритм построения сечения: будем на каждой грани искать две точки, которые также и принадлежат плоскости α; потом будем их соединять в одну прямую. Ведь, такая прямая и будет прямой пересечения двух плоскостей: грани и плоскости сечения α.

Отвечаем на вопрос (а):

1. Вычислим объёмы куба и пирамиды. Пирамиду рассмотрим так, что основание пирамиды, будет лежать на основании куба, значит и будет частью основания куба.

Объем куба легко посчитаем👌: 1³ = 1 куб.ед.

А пирамиду...👀 надо еще рассмотреть по-удобнее...

Основанием пирамиды пусть будет прямоугольный треугольник ABТ с прямым углом A.

Высота пирамиды - это отрезок, который находится на луче исходящем из вершины пирамиды перпендикулярно к основанию. Из A₁ в Δ ABТ перпендикулярно падает луч A₁A. Так значит, высота пирамиды - это отрезок A₁A.

Итак: объем куба = 1³ = 1 куб.ед., объём пирамиды = 1/12 куб.ед.

Доказано: объем пирамиды AA₁ТB в 12 раза меньше объёма куба ABCDA₁B₁C₁D₁

Отвечаем на вопрос (б):

Вершина А и плоскость A₁ТB есть исследуемая нами пирамида AA₁ТB🤗.

Расстояние от А до плоскости A₁ТB есть высота пирамиды.

Высоту пирамиды возможно найти разделив объем пирамиды на треть площади основания... Сделаем👏:

Объем пирамиды мы вычислили раннее. Он равен 1/12 куб.ед.

Площадь треугольника A₁BТ будем искать по формуле Герона. Самый лайтовый способ, по-моему)). Нам предварительно нужно, рассмотрев куб внимательно, вычислить длины треугольника A₁BТ. Что сейчас и сделаем:

А теперь вычислим площадь треугольника A₁BТ по формуле Герона.

Формула Герона: площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра на разности полупериметра и каждой стороны.

Ну а теперь, считаем длину высоты пирамиды. Напоминаю, что для этого нам нужно разделить объем пирамиды на треть площади основания.

Ответ к (б): √6/6.

Задачи по стереометрии в ЕГЭ традиционно плохо решают, хотя она не така уж и страшная🤗

Сегодня мы рассмотрели типичный сюжет задач: нахождение расстояния от точки до плоскости.

Алгоритм решения такой задачи достаточно прост:

1) На плоскости выберем три точки.

2) Соберём треугольную пирамиду.

3) Расстоянием от заданной точки до плоскости есть высота этой пирамиды.

Длину высоты пирамиды можно вычислить, разделив объем пирамиды на треть площади его основания.

🙌🙌🙌 Вот по такому алгоритму мы и решили задачу сегодня)

📚 Интересуетесь решением стереометрических задач?

📚Тогда обязательно ознакомьтесь с моей последней публикацией, посвящённой задаче №14 — нахождению расстояния от точки до плоскости. Простые шаги и наглядные объяснения помогут вам освоить эту тему быстро и эффективно.

😊 Что вас ждёт на канале: 😊

Подробный разбор заданий ЕГЭ с примерами решений;
Лайфхаки для быстрого запоминания формул и теорем;
Поддержка и обратная связь от профессионального репетитора.

❗ Присоединяйтесь прямо сейчас, чтобы получать свежие материалы и повышать свои шансы на высокий балл на экзамене! 🎯

#ЕГЭ_математика_мо_зг

#математика