В лекции [https://zen.yandex.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/teoriia-mnojestv-binarnye-otnosheniia-623a80b75ad1380b5eed16c8] были рассмотрены основные понятия, связанные с бинарными отношениями. В этой лекции сформулируем основные понятия, которые связаны со специальными бинарными отношениями, обладающими определённым свойством. Это свойство заключается в том, что каждый элемент из первого множества декартового (прямого) произведения, на котором задано это бинарное отношение, связано с единственным элементом из второго множества декартового (прямого) произведения.
Другими словами, как показано на рис. ниже.
Примеры приведены ниже.
Заметим, что в примере под цифрой 1) представлено бинарное отношение f, которое не является функцией, поскольку элементу а соответствуют два разных элемента из множества В: 1 и 2;
под цифрой 2) показано бинарное отношение g, которое является функцией;
под цифрой 3) задано бинарное отношение, которое функцией не является, поскольку элементу b не соответствует ни одного элемента из множества В.
С функциями связаны несколько следующих определений.
Следует различать область значений, которая определена выше, и множество значений, определение и пример представлен ниже.
В этом примере множеством значений является только множество всех неотрицательных действительных чисел, а областью значений - всё множество действительных (вещественных) чисел.
На следующем рисунке показана диаграмма Эйлера-Венна, демонстрирующая нахождение множества значений по отношению к области значений для общего случая (в частным случаях, множество значений и область значений могут совпадать, об этом будет рассказано позже).
Функции могут обладать следующими свойствами.
В следующем примере показаны несколько бинарных отношений, определите, являются ли они функциями, если являются, то обладают ли эти функции выше указанными свойствами (инъекция, сюръекция, биекция).
Заметим, что
А) Функция не является инъективной, т.к. элементы a и b множества А направлены в один и тот же элемент множества В.
Функция не является сюръективной, т.к. элемент 2 множества В не связан ни с одним элементом множества А.
Б) Функцией не является, т.е. из элемента b множества А нет ни единого элемента, выходящего в какой-либо элемент множества В.
Следовательно, свойства инъективности и сюръективности не определяются.
В) Также функцией не является по той же причине, что и вариант Б).
С) Функция является биективной, т.к. имеется и инъекция, и сюръекция.
Сформулируем ещё пару определений, связанных с функциями.
Приведём несколько интересных примеров функций.
Упражнение 1.
В комментарии к лекции запишите известную Вам функцию, а также определите, какими свойствами (инъекция, сюръекция, биекция) она обладает. приведите аргументы в подтверждение выводов.