Рассмотрим решение задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием дополнительного построения, теоремы Пифагора и выражения радиуса окружности через радикал. Задача дана под заголовком «Школьная олимпиада! Окружность касается катетов». Итак, задача.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC, окружность касается его катетов — в вершине A и в середине M отрезка BC. Окружность пересекает гипотенузу в точке K, AK = 4. Найдите площадь треугольника ABC.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Школьная олимпиада! Окружность касается катетов | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/694e46d006be3927b8e5b4f9
Задача решена довольно просто с применением теоремы Пифагора, без которой можно было обойтись. Решим задачу без теоремы Пифагора и выражения радиуса окружности через радикал.
Решение. Воспользуемся рисунком Валерия Казакова, хотя для его решения не требовалось строить квадрат, описанный около окружности.
Прямоугольные треугольники ADK, DBK и ABC подобны по двум углам (углы DAB и ABC— накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AB, углы DAB и BDK — острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами).
Отношение катетов в этих треугольниках равно 2 : 1, поэтому DK = 2, а KB = 1, тогда AB = 4 + 1 = 5.
Площадь треугольника ABC равна площади равного ему треугольника ABD и равна половине произведения длин отрезков DK и AB, она равна 5 ∙ 2 : 2 = 5.
Ответ. 5.
Математические задачи желательно решать минимизируя используемые теоретические сведения и давая несколько разных способов решения, что полезно для повторения и при подготовке к экзаменам.