Математика не для всех

Четырёхугольник Саккери — это аккуратный инструмент «нейтральной» геометрии, где никаких дополнительных допущений о параллельных не делается. Берут отрезок основания, на его концах под прямыми углами поднимают равные по длине боковые стороны и соединяют их верхние концы отрезком, который называют вершиной. У основания углы по определению прямые, а у вершины они оказываются равными друг другу. Эта равенство не требует евклидова постулата: фигура симметрична относительно перпендикуляра, проходящего...

Забавное совпадение: радиус Шварцшильда — это радиус, определяющий горизонт событий чёрной дыры. Это также фамилия астронома, который его вывел, — Карла Шварцшильда, что в переводе с немецкого означает «чёрный щит»...

Преобразование Фурье также работает с объектами более высокой размерности, например с изображениями. Изображение в градациях серого можно представить как двумерную функцию, которая показывает, насколько ярким является каждый пиксель. Преобразование Фурье раскладывает эту функцию на набор двумерных частот. Синусоидальные и косинусоидальные волны, определяемые этими частотами, образуют полосатые узоры, ориентированные в разных направлениях. Эти узоры и их простые комбинации, напоминающие шахматную доску, можно сложить вместе, чтобы воссоздать любое изображение...

Преобразование Фурье выполняет это для всех возможных частот, умножая исходную функцию на синусоидальные и косинусоидальные волны. (На практике это сравнение выполняется на комплексной плоскости с использованием комбинации действительных и мнимых чисел.) Таким образом, преобразование Фурье позволяет разложить сложную на вид функцию всего на несколько чисел. Это сделало его важнейшим инструментом для математиков: если они не могут решить какую-то задачу, они могут попробовать преобразовать её. Часто задача становится намного проще, если перевести её на язык частот...

Рассмотрим следующую функцию (рис.1). Преобразование Фурье показывает, какой вклад в исходную функцию вносит каждая частота. Для этого волны умножаются друг на друга. Вот что произойдёт, если мы умножим исходную функцию на синусоиду с частотой 3 (рис. 2). Здесь много больших пиков, что означает, что частота 3 вносит вклад в исходную функцию. Средняя высота пиков показывает, насколько велик этот вклад...