В однокруговом турнире (т.е. любые две команды сыграли друг с другом ровно один раз) участвовали 15 команд. Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира. Задача была предложена на Турнире городов 2002/03 года на основном варианте весеннего тура для 8-9 классов. Автор задачи - А.В. Шаповалов. Приведу два решения задачи. Оба раза буду предполагать противное, т.е. что сумма, о которой говорится в условии задачи, для каждого матча чётна. Решение 1. Будем перед каждой игрой считать сумму матчей, которые команды сыграли до этой игры...

Сколько команд могло участвовать в футбольном однокруговом турнире, если известно, что суммарно все они набрали 60 очков? Всего было сыграно n(n-1)/2 матчей. Если все были в ничью, то каждая команда получила по 1 баллу и в сумме 2, т.е. n(n-1) баллов - это минимальное количество баллов. Если были победы, то баллов 3 и 0 - в сумме 3, значит 1.5n(n-1) - это максимальное количество баллов. 1.5n(n-1)>60>n(n-1) n(n-1)<60 n(n-1)>40 При n=7: 7*6=42 - подходит...