Детство и юношество Александр родился в городе Ростов-на-Дону в семье спортсменов. Его отец был боксером, а старший брат –  профессиональным волейболистом. В детстве Саша любил с братом погонять с мячом во дворе. «Старший брат постоянно играл во дворе с ребятами, а я был ещё маленький. Меня, чтобы не затоптали, ставили в ворота: «Постой, поотбивай что-нибудь, если получится, – а там как пойдёт». Стало получаться: я в кураж входил, прыгал на гаревой площадке, постоянно были ссадины из-за этого — стирал ляжки, локти...

Российский вратарь начал заниматься футболом в 9 лет, сначала был в Локомотиве из Ростова, затем занимался в академии футбола имени Виктор Понедельника. В 15 лет пришел на просмотр в московский Спартак и стал заниматься в команде красно-белых. Профессиональную карьеру Максименко начал в 2016 году, из-за постоянных ошибок Реброва, а также травм Селихова, Александр стал основным голкипером команды...