В 2006 году на своём первой Кубке Федерации Москвы, который проходил среди юношей 1995 г.р., защитник набрал 11 (2+9) очков в 18 играх. В Ярославле Юрий Паутов играл вплоть до 2011 года. В дальнейшем Юрий Паутов перешёл в хоккейный клуб «Атлант» (Мытищи), где набрал 21 (7+14) очко на Чемпионате Москвы. В 2012 году заключил годовой контракт с донецким «Донбассом», в котором набрал 3 очка в 25 играх. В этом же сезоне Юрий Паутов становится чемпионом Первенства Украины 2012/2013 (ПХЛ).  В 2013 году Юрий Паутов заключил договор о сотрудничестве с командой Молодежной лиги «Молодая гвардия»...

Владивостокский «Адмирал» провел тренировку 1 января, об этом сообщил хоккеист команды Юрий Паутов в Telegram‑канале. — У нас 1 января началось с тренировки. А как начался год у вас? — написал Паутов. Хоккеист также сообщил, что команде поставили час занятий на льду и тренировку с баллонами, но потом этот комментарий удалил. Занятие с баллонами считается самым тяжелым в хоккее. Один или двое хоккеистов садятся в автомобильную шину, а другой игрок тащит их на лямке по льду. Главный тренер «Адмирала» Леонид Тамбиев объяснил решение провести новогоднюю тренировку...