Морозов является выпускником хоккейной школы "Нефтяник", в системе которого и начал свою профессиональную карьеру в 2019 году. В дальнейшем игрок обороны выступал за молодежные команды "Реактор" и "Дизелист", а на взрослом уровне — за "Молот-Прикамье", "Зауралье", "Дизель" и "Сокол". В составе красноярцев Егор прошлой весной стал серебряным призером ВХЛ, а минувший сезон 2023/2024 оказался для него самым результативным в карьере — сыграв в общей сложности 66 матчей, защитник набрал 35 (12+23) очков при показателе полезности "+13". Всего во Всероссийской хоккейной лиге Морозов провел 200 игр и заработал 50 (18+32) баллов за результативность при общем показателе полезности "+22".