Детство и юношество Александр родился в городе Ростов-на-Дону в семье спортсменов. Его отец был боксером, а старший брат –  профессиональным волейболистом. В детстве Саша любил с братом погонять с мячом во дворе. «Старший брат постоянно играл во дворе с ребятами, а я был ещё маленький. Меня, чтобы не затоптали, ставили в ворота: «Постой, поотбивай что-нибудь, если получится, – а там как пойдёт». Стало получаться: я в кураж входил, прыгал на гаревой площадке, постоянно были ссадины из-за этого — стирал ляжки, локти...

Бывший тренер вратарей «Спартака» Даниэл Тудор рассказал об игре голкипера красно-белых Александра Максименко. — Даниэль, при вас вратарь Александр Максименко заметно прогрессировал. Но вас не пугали его нелепые ошибки? — Очень рад прогрессу Максименко. Когда я начинал работу в «Спартаке», первым делом проанализировал, что ему нужно, чтобы стать еще лучше. За 11 месяцев мы исправили некоторые его ошибки. Уверен, что вскоре он станет лучшим вратарем в России, потенциал у него огромный. Но он еще молод и очень важно совершить эти ошибки сейчас, чтобы они не повторялись в будущем...