Детство Квят провёл в Уфе; учась в школе, занимался теннисом, становился победителем на школьных соревнованиях. Переехав в Москву, попал в картинговый центр и попробовал проехать на карте по трассе, что ему очень понравилось. С того момента он стал увлекаться автоспортом, часто посещал автодром. В скором времени у Квята появились свои тренеры, и он стал принимать участие в серьёзных соревнованиях. В 2005 г. стал победителем Рождественского Кубка Сочи по картингу (класс Мини). В этом году также выступал в чемпионате России по картингу (класс Ракет), где занял 12-е место...

Самый титулованный российский автогонщик Даниил Квят возвращается в гонки. Правда, теперь уже не в "Формулу-1", а в престижную американскую гоночную серию NASCAR. "МК-Спорт" рассказывает подробности. В нынешнем сезоне российским болельщикам сложно сопереживать соотечественникам в гоночных соревнованиях. Просто потому что русских пилотов практически не осталось: «Хаас» расторг контракт с Никитой Мазепиным, Роберт Шварцман так нигде и не поехал, хоть и остался в системе «Феррари». Разве что Александр Смоляр гоняется в "Формуле-3"...