Даниил родился 26 апреля 1994 года в Уфе. До 6 лет жил там, затем с семьёй переехал в Москву. В столице попробовал проехать на карте и ему очень понравилось. Он заболел автоспортом и начал часто посещать картодром...

Экс-пилот «Формулы-1» Даниил Квят сообщил, что между ним и Карлосом Сайнсом, ныне выступающим за «Феррари», случались конфликты. Борьба гонщиков началась после побед Даниила в картинге. «В тот момент я привлек внимание «Ред Булл». Я приехал в Варано, в Италию, где проходили тесты «Формулы-БМВ» – с Карлосом Сайнсом и более опытным пилотом, Фелипе Насром, который был для нас ориентиром. Гельмут Марко остался очень доволен тестами и сказал: «Если это действительно твой первый раз [в «формулах»], значит, все очень здорово»...