Детство Квят провёл в Уфе; учась в школе, занимался теннисом, становился победителем на школьных соревнованиях. Переехав в Москву, попал в картинговый центр и попробовал проехать на карте по трассе, что ему очень понравилось. С того момента он стал увлекаться автоспортом, часто посещал автодром. В скором времени у Квята появились свои тренеры, и он стал принимать участие в серьёзных соревнованиях. В 2005 г. стал победителем Рождественского Кубка Сочи по картингу (класс Мини). В этом году также выступал в чемпионате России по картингу (класс Ракет), где занял 12-е место...

Российско-итальянский гонщик Даниил Квят, который в сезоне-2025 выступает за заводскую команду Automobili Lamborghini Squadra Corse в турнире IMSA в классе GT Prototype (GTP) в зачёте Michelin Endurance Cup, во второй раз в году добрался до финиша. Более того, результат стал лучшим в карьере пилота в серии. Lamborghini SC63 показал свой лучший результат в своей последней гонке GTP чемпионата IMSA WeatherTech SportsCar Championship, заняв четвёртое место в завершающем сезон Малом Ле-Мане на трассе «Роуд-Атланта» под управлением француза Ромена Грожана, швейцарца Эдоардо Мортары и Даниила Квята...