Алексей Спиридонов родился в посёлке Ревякино Тульской области. Его увлечение волейболом началось благодаря родителям, которые регулярно возили сына на тренировки из Ревякина. С 1998 года он занимался в ДЮСШ № 10 Тулы под руководством Тамары Алексеевны Велещук. В юности Алексей также пробовал себя в дзюдо, интересовался лёгкой атлетикой и футболом, однако в итоге остановил свой выбор на волейболе. С детства он дружит с известной волейболисткой Татьяной Кошелевой, которая тоже тренировалась в этой спортивной школе...

Известный волейболист и болельщик московского «Спартака» Алексей Спиридонов специально для сетевого издания «Евро-Футбол.Ру» высказался о продлении контракта с атакующим полузащитником Эсекьелем Барко. «Безусловно, для «Спартака» на сегодня Барко — ключевой футболист. Мы видели игру с Барко и какая игра была без Барко. Определённо, он сейчас ключевой футболист команды...