Детство Квят провёл в Уфе; учась в школе, занимался теннисом, становился победителем на школьных соревнованиях. Переехав в Москву, попал в картинговый центр и попробовал проехать на карте по трассе, что ему очень понравилось. С того момента он стал увлекаться автоспортом, часто посещал автодром. В скором времени у Квята появились свои тренеры, и он стал принимать участие в серьёзных соревнованиях. В 2005 г. стал победителем Рождественского Кубка Сочи по картингу (класс Мини). В этом году также выступал в чемпионате России по картингу (класс Ракет), где занял 12-е место...

Пилот Формулы 1 Даниил Квят сейчас живет в Монако. Но как оказалось, мечтает россиянин совсем о другом месте. «Италия — это та страна, где мне хотелось бы проводить большую часть времени», — заявил Квят в интервью подкасту Формулы 1 Beyond the Grid. Даниил переехал в Италию в детстве. Переезд спортсмена организовал его отец, депутат Курултая Башкирии Вячеслав Квят. В Италии пилот занимался картингом: какое-то время россиянин выступал под итальянской лицензией, чтобы получить допуск на местные чемпионаты...