Детство Квят провёл в Уфе; учась в школе, занимался теннисом, становился победителем на школьных соревнованиях. Переехав в Москву, попал в картинговый центр и попробовал проехать на карте по трассе, что ему очень понравилось. С того момента он стал увлекаться автоспортом, часто посещал автодром. В скором времени у Квята появились свои тренеры, и он стал принимать участие в серьёзных соревнованиях. В 2005 г. стал победителем Рождественского Кубка Сочи по картингу (класс Мини). В этом году также выступал в чемпионате России по картингу (класс Ракет), где занял 12-е место...

Российско-итальянский гонщик Даниил Квят, который в сезоне-2025 выступает за заводскую команду Automobili Lamborghini Squadra Corse в турнире IMSA в классе GT Prototype (GTP) в зачёте Michelin Endurance Cup, побывал на дней рождения своей дочери Пенелопы. «Пенелопе два дня назад исполнилось 6 лет. Они так быстро растут!», — написал Даниил Квят у себя в соцсетях, обыграв в сообщении возраст дочери и финиш на шестой позиции (P6)...